Определенный интеграл

Определенным интегралом от функции y = f(x) на отрезке [a; b] называется конечный предел ее интегральных сумм, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю.

Определенный интеграл обозначается символом

,

где a и b – нижний и верхний пределы интегрирования,

f(x) – подынтегральная функция.

Читается: определенный интеграл от а до b.

Свойства определенного интеграла:

1. 

2. 

3. 

4. 

Связь между определенным и неопределенным интегралом выражает следующая теорема Ньютона – Лейбница, называемая основной теоремой интегрального исчисления.

Теорема. Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования:

Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница.

Методы вычисления определенных интегралов аналогичны coответствующим методам для неопределенных интегралов, за исключением метода подстановки. Для вычисления интеграла способом подстановки (или замены переменной):

t = v(x), dt = v ^/(x) dx, где t - новая переменная, dt – её дифференциал, пределы интегрирования а и b, соответствующие переменной х, должны быть заменены на числа , соответствующие изменению переменой t.

Пример 6.4. Найти определенный интеграл

Решение

Ответ: 64.

Пример 6.5. Найти определенный интеграл, применив необходимую замену

переменной

Решение

Ответ: .

Пример 6.6. Найти определенный интеграл, применив метод интегрирования по частям

Контрольные вопросы

1. Что называется первообразной функции?

2. Что называется неопределенным интегралом?

3. Что такое интегрирование?

4. Назовите свойства неопределенных интегралов.

5. В чем заключается метод замены переменной?

6. В чем заключается метод интегрирования по частям?

7. Что называется определенным интегралом?

8. По какой формуле вычисляют определенный интеграл?

9. Какие вы знаете свойства определенных интегралов?

10. В чем особенность метода замены переменной в определенном интеграле?

11. Запишите формулу интегрирования по частям.

Практическая работа № 4 (1ч)

Вычисление определенных интегралов.

Вычислить определённые интегралы:

; ;

; ;

; .

Тема 7. Дифференциальные уравнения.

Содержание программы

1. Понятие дифференциального уравнения 1-го порядка. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

2. Однородное дифференциальное уравнение.

3. Понятие дифференциального уравнения высшего порядка. Дифференциальные уравнения, которые допускают понижение порядка.

Содержание темы

Дифференциальным называется такое уравнение, в котором неизвестной является функция одной или нескольких переменных, причем в уравнение входит не только сама функция, но и ее производные.

Если неизвестная функция является функцией от одной переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным, если функция нескольких переменных – то дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядок наивысшей производной (дифференциала), входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком уравнения.

Любая функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, называется решением или интегралом этого уравнения.

Например, фукнция у = cos x есть решение дифференциального уравнения

у^//+у=0.

В самом деле, для функции у = cos x имеем у^// = - cos x, поэтому, подставив в уравнение значения у и у^//, получим тождество.

Решение дифференциального уравнения, в котором число произвольных постоянных равно порядку дифференциального уравнения, называется общим решением данного уравнения. Решение дифференциального уравнения при определенных значениях постоянных называется частным решением.

На практике, как правило, частное решение некоторого дифференциального уравнения находится из общего решения не путем придания произвольным постоянным каких-то определенных численных значений, а исходя из некоторых условий, которым должно удовлетворять искомое частное решение. Условия, которым должно удовлетворять искомое частное решение данного дифференциального уравнения, называются начальными условиями.

Задача отыскания конкретного частного решения данного дифференциального уравнения по начальным данным называется задачей Коши.

Соотношение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у = у(х) и её первую производную у ^/, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка:

F (x, y, y ^/) = 0.

Решением дифференциального уравнения называется функция у = у(х), удовлетворяющая этому уравнению. Общее решение дифференциального уравнения первого порядка – это множество функций, зависящих от одной произвольной постоянной С: у = φ (х, С). Частное решение дифференциального уравнения получается из общего решения при значении произвольной постоянной, определяемом начальным условием у(х₀) = у₀.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка ставится следующим образом: найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(х₀) = у₀.

Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида

M₁(x) N₁(y) dx + M₂(x) N₂(y) dy = 0

Схема решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:

1) Разделим переменные: M₂(x) N₂(y) dy = - M₁(x) N₁(y) dx,

,

2) Проинтегрируем обе части тождества:

.

Пример 7.1. Найти общее решение дифференциального уравнения

(х² + 1) у^/ = 2ху.

Решение (х² + 1) у^/ = 2ху

(х² + 1) = 2ху

(х² + 1) dу = 2ху dx

ln |y| = ln |x² + 1| + ln |C|,

ln |y| = ln |C(x² + 1)|,

y = C(x² + 1) – общее решение.

Ответ: y = C(x² + 1), где С = const.

Пример 7.2. Решить задачу Коши (х + 3) y^/ = (y + 2), y(2) = 3.

Решение (х + 3) y^/ = (y + 2),

(х + 3) = (y + 2),

(x + 3) dy = (y + 2) dx,

,

ln |y + 2| = ln |x + 3| + ln |C|,

ln |y + 2| = ln |C(x + 3)|,

y + 2= C(x + 3)

y = C (x + 3) – 2 – общее решение.

Решим задачу Коши, найдя значение С, удовлетворяющее заданным начальным условиям y(2) = 3:

С (2 + 3) – 2 = 3,

5С = 5,

С = 1.

Подставив в общее решение найденное значение С, получим частное решение дифференциального уравнения:

у = (х + 3) – 2,

у = х + 1.

Ответ: у = х + 1.

Дифференциальное уравнение вида называют однородным, если обе функции и являются однородными функциями одной и той же степени n, т. е. для параметра t выполняются:

Однородное уравнение может быть сведено к виду

(7.1)

где – некоторое выражение относительно

Для решения однородного уравнения его сводят вначале к виду (7.1), а затем заменяют где Этой заменой дифференциальное уравнение (7.1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Иногда целесообразнее сделать замену где

Пример 7.3. Решить уравнения:

1) 2)

3)

Решение 1) Так как

то и – однородные функции первой степени.

Делаем замену. Очевидно, что делением на уравнение сводится к виду т. е. или Заменяем где откуда и Подставляя в исходное дифференциальное уравнение, получаем: т. е.

Разделяем переменные (при условии ): Интегрируем: или Отсюда

Возвращаемся к старым переменным, подставляем вместо z выражение Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения имеет вид:

Рассмотрим отдельно возможные решения и которые мы исключали. В последнем случае имеем т. е. Подставляем и в заданное дифференциальное уравнение и убеждаемся, что они также являются его решениями. При этом решение содержится в формуле общего интеграла при Решение не содержится в полученной формуле общего интеграла. Поэтому окончательное решение:

2) Разделив дифференциальное уравнение на x получаем: – это однородное дифференциальное уравнение. После замены где имеем

Далее приводим подобные и разделяем переменные, считая т. е. Получаем Интегрируем и получаем

Возвращаемся к старым переменным, получаем общее решение:

Анализируем, являются ли решениями и т. е. Подставляем в заданное дифференциальное уравнение и убеждаемся, что не является решением заданного дифференциального уравнения, а являются решениями, которые не входят в полученное общее решение. Приходим к решению исходного дифференциального уравнения:

3) Запишем заданное уравнение в виде

Делим его на y

(7.2)

Делаем замену где т. е. и После подстановки в уравнение (7.2) получаем:

т. е.

После упрощения имеем

Делим переменные:

Интегрирование дает:

или

Возвращаемся к старым переменным, используя Тогда общий интеграл имеет вид:

Пример 7.4. Решить задачу Коши:

1)

2)

Решение 1) Это однородное уравнение. Разделив заданное уравнение на получаем:

Делаем замену где

или, приведя подобные,

Разделяем переменные:

Интегрируем последнее уравнение:

т. е., используя свойства логарифма, имеем

Возвращаясь к старым переменным, получаем: – общий интеграл исходного уравнения.

Подставляем в него начальные условия и находим С:

или

Значит, решением задачи Коши является

2) Это уравнение однородное. Разделив его на x получаем:

Делаем замену где

Приводим подобные:

или

Разделяем переменные, считая

(7)

Далее интегрируем уравнение (7) и получаем:

Используем свойства логарифма и получаем:

Возвращаемся к старым переменным:

или

Отсюда получаем:

– общий интеграл заданного уравнения. Подставив в него начальные условия: получим

Решение задачи Коши:

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение относительно независимой переменой, искомой функции, ее первой и второй производной. В общем виде это уравнение можно записать так:

F (x, y, y ^/, у ^//) = 0.

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка ставится следующим образом: найти частное решение у = у(х), удовлетворяющее начальным условиям у(х₀) = у₀, у ^/ (х₀) = у₀^/.

Если уравнение F (x, y, y ^/, у ^//) = 0 разрешимо относительно старшей производной, то его можно представить в виде

у ^// = f (х, у, у ^/).

К простейшим интегрируемым дифференциальным уравнениям второго порядка относятся уравнения, для которых функция, стоящая в правой части равенства, зависит только от одного из аргументов.

Рассмотрим неполное дифференциальное уравнение второго порядка вида

у ^// = f (х).

Общее решение этого уравнения находится двукратным интегрированием.

Пример 7.5. Решить задачу Коши:

y ^// = 36х ⁵, y ^/(1) = 12, у(1) = 7.

Решение y ^// = 36х ⁵,

y ^/ =

y ^/ = 6х ⁶ + С₁,

y =

y = – общее решение.

Решим задачу Коши, найдя значение С ₁ и С ₂, удовлетворяющие заданным начальным условиям y ^/(1) = 12, у(1) = 7:

Подставив в общее решение найденные значения С ₁ и С₂, получим частное решение дифференциального уравнения: у = .

Ответ: у = .

Пример 7.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

у ^// = (2х + 1)⁴.

Решение у ^// = (2х + 1)⁴,

у ^/ =

у ^/ =

у ^/ =

у ^/ =

у =

у =

у =

у = – общее решение.

Уравнение вида

у ^// + py ^/ + qy = 0,

где р и q – постоянные (р 0), называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) II порядка с постоянными коэффициентами вида.

Для его решения составляется характеристическое уравнение, выполнив замены: у ^//→ k ², y ^/ → k, y → 1:

k ² + pk + q = 0

В зависимости от найденных корней характеристического уравнения общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Дискриминант	Корни характеристического уравнения	Общее решение ЛОДУ II порядка
D > 0	k1 ≠ k2 є R	y = C1 e k x + C2 e k x
D = 0	k1 = k2 = k є R	y = C1 e k x + xC2 e k x
D < 0	k1 = a + bi k2 = a – bi	y = e ax (С1сos bx + С2sin bx)

Пример 7.7. Решить задачу Коши:

y ^// - 3y ^/+ 2y = 0, y ^/(0) = - 1, у(0) = 3.

Решение Составим соответствующее характеристическое уравнение:

k ² – 3k + 2 = 0

D = 1

k₁ = 2, k₂ = 1

Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид

y = C₁ e ^2x + C₂ e ^x. (1)

Решим задачу Коши, найдя значение С ₁ и С ₂, удовлетворяющие заданным начальным условиям y ^/(0) = - 1, у(0) = 3. Но для этого сначала найдем у ^/, продифференцировав (1):

y^/ = 2C₁ e ^2x + C₂ e ^x

\Подставив в общее решение найденные значения С ₁ и С₂, получим

частное решение дифференциального уравнения: y = 4e ^2x – 5e ^x.

Ответ: y = 4e ^2x – 5e ^x