Контрольные вопросы

1. Что называется производной функции?

2. В чем состоит физический и геометрический смыслы производной?

3. Как находится производная суммы, произведения, частного двух

функций?

4. Какая функция называется сложной?

5. Как дифференцируется сложная функция?

6. Как записывается уравнение касательной к графику функции?

7. Как найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке?

8. Сформулируйте правило Лопиталя.

9. Как вычисляются производные высших порядков?

10. Как найти интервалы монотонности функции?

11. Как исследовать функцию на выпуклость и как найти точки перегиба графика функции?

12. Какая функция называется функцией нескольких переменных?

13. Что такое частные производные?

14. Формула полного дифференциала функции.

Практическое занятие №2 (1ч)

Вычисление производной функции

1. Найти производные функций:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и) к)

л) м)

Практическое занятие №3 (1ч)

Нахождение частных производных и полного дифференциала функции многих переменных

1. Найти частные производные полные дифференциалы следующих функций:

а) б)

в) г)

д) при х=1, у=2.

Тема 6. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл

Содержание программы

6.1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

6.2. Методы интегрирования: замена переменной, поднесение под знак дифференциала.

6.3. Метод интегрирования по частям.

6.4. Понятие определенного интеграла, его свойства, физический и геометрический смысл.

6.5. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла с помощью свойств интеграла и формулы Ньютона-Лейбница.

6.6. Методы вычисления определенного интеграла: интегрирование по частям, замены переменной и поднесения под знак дифференциала.

Содержание темы Неопределенный интеграл

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x), если выполняется условие F ^/ (x) = f (x).

Любая непрерывная функция f (x) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Совокупность всех первообразных некоторой функции называется неопределенным интегралом от этой функции:

.

Операция нахождения неопределенного интеграла некоторой функции называется интегрированием.

Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании основных свойств неопределенного интеграла и таблицы простейших интегралов.

Свойства неопределенного интеграла:

1. 

2. 

3. 

Таблица интегралов

Пример 6.1. Найти неопределенный интеграл

Решение

В основе интегрирования способом подстановки (или замены переменной) лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое заключается в следующем: если ,

то

где и(х) = .

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью следующих подстановок: t = v(x), dt = v ^/(x) dx, где t - новая переменная, dt – её дифференциал.

Пример 6.2. Найти неопределенный интеграл, применив необходимую замену переменной

Решение

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

,

где u, v - непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы отыскание интеграла сводится к нахождению другого интеграла . Её применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще, либо ему подобен.

При этом в качестве u берется функция, которая при дифференцировании упрощается.

Так, при нахождении интегралов вида , , за u следует принять многочлен Р (х), а за v соответственно выражение е^ахdx, sin ax, cos ax dx.

При нахождении интегралов вида , , за u принимают соответственно функции ln ax, arcsin ax, arcos ax, а за v - выражение Р(х)dx.

Пример 6.3. Найти интеграл

Решение

Ответ: