Применение понятия производной в экономике
Экономический смысл производной рассматривается на примере производственной функции. Производственной называют функцию, устанавливающую зависимость объёма выпускаемой продукции Q от величины затрат х: Q=f(x).
Производная данной функции показывает, насколько измениться объём выпуска продукции при увеличении затрат на единицу, т.е. эффективность затрат.
Если зависимость
между издержками производства и объёмом
выпускаемой продукции х выражается
функцией
,
то средние издержки при объёме продукции
х выражается отношением
и функция предельных издержек выражается
производной
Эластичность издержек у относительно объёма выпускаемой продукции х рассчитывается по формуле:
.
Пример 5.3.
Зависимость между издержками
производства и объёмом выпускаемой
продукции х выражается функцией
.
Требуется:
определить средние и предельные издержки при объёме продукции х=0,5 условных единиц;
найти эластичность издержек при выпуске продукции, равном х1=1 условных единиц.
Решение
1) Функция
средних издержек выражается отношением
.
При х=0,5
средние издержки равны
.
Функция предельных издержек выражается производной
При х=0,5 предельные издержки составят
,
что вдвое меньше средних издержек.
2) Эластичность издержек у относительно объёма выпускаемой продукции х рассчитывается по формуле:
.
При х1=1,
.
Это означает, что при увеличении
количества произведённой продукции на
1% издержки уменьшаться на 1%.
Если
есть производная от функции
,
то производная от
называется второй производной, или
производной второго порядка и обозначается
,
или
,
или
.
Аналогично
определяются производные любого
порядка:производная третьего порядка
;
производная n-го
порядка:
.
Функции многих переменных
Функция. определенная на некотором множестве Х арифметического п-мерного пространства, называется функцией п аргументов.
Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f(x,y) и называется значением функции f в точке (x,y).
Частной
производной по переменной
х
функции
в точке
называется предел
(5.1)
если он существует.
Производную
(5.1) обозначают также
Частной производной по переменной у функции в точке называется предел
(5.2)
если он существует.
Производную
(5.2) обозначают также
Для
функции трех переменных
в случае их существования, аналогично
определяют три частные производные
Дифференциал
функции двух переменных
вычисляется по формуле
Пример
5.4.
Вычислить
и
функции
Найти
значения частных производных в точке
(–1, 1).
Решение Зафиксируем у, вычислим производную по х, пользуясь правилами дифференцирования (условно считаем y = const):
Тогда
Зафиксируем
х,
вычислим производную по у:
Тогда
Пример
5.5.
Найти dz
функции
Решение Найдем частные производные:
Тогда
