9.2. Малая выборка
При контроле качества товаров в экономических исследованиях эксперимент может проводиться на основе малой выборки. Под малой выборкой понимается несплошное статистическое обследование, при котором выборочная совокупность образуется из сравнительно небольшого числа единиц генеральной совокупности. Объем малой выборки обычно не превышает 30 единиц и может доходить до 4-5 единиц.
Величина ошибки малой выборки определяется по формулам, отличным от формул выборочного наблюдения со сравнительно большим объемом выборки (п> 100). Средняя ошибка малой выборки м.в. вычисляется по формуле
(18)
где
- дисперсия малой выборки.
По формуле (3) имеем:
Но поскольку при малой выборке - имеет существенное значение, то вычисление дисперсии малой выборки производится с учетом гак называемого числа степеней свободы. Под числом степеней свободы понимается количество вариантов, которые могут принимать произвольные значения, не меняя величины средней. При определении дисперсии число степеней свободы равно n - 1:
(19)
Предельная ошибка малой выборки м.в определяется по формуле
м.в =t м.в (20)
При этом значение коэффициента доверия t зависит не только от заданной доверительной вероятности, но и от численности единиц выборки n. Для отдельных значений t и n доверительная вероятность малой выборки определяется по специальным таблицам Стьюдента, в которых даны распределения стандартизованных отклонений:
(21)
Пример. При контрольной проверке качества поставленной в торговлю колбасы получены следующие данные о содержании поваренной соли в пробах, %: 4,3; 4,2; 3,8; 4,3; 3,7; 3,9; 4,5; 4,4; 4,0; 3,9.
По данным выборочного обследования нужно установить с вероятностью 0,95 предел, в котором находится средний процент содержания поваренной соли в данной партии товара.
Для вычисления необходимых значений составим расчетную табл.
По тогам табл. определяется средняя проба малой выборки:
По формуле (19) и итоговым данным табл. определим дисперсию малой выборки:
По формуле 18 определим среднюю ошибку малой выборки:
Исходя из численности выборки (n=10) и заданной вероятности St =0,95, устанавливается по распределению Стьюдента значение коэффициента доверия t=2,263.
Пробы i |
i - |
( i - )2 |
1 |
2 |
3 |
4,3 |
0,2 |
0,04 |
4,2 |
0,1 |
0,01 |
3,8 |
0,3 |
0,09 |
4,3 3,7 |
0,2 -0,4 |
0,04 0,16 |
3,9 |
-0,2 |
0,04 |
4,5 |
0,4 |
0,16 |
4,4 |
0,3 |
0,09 |
4,0 |
-0,1 |
0,01 |
3,9 |
-0,2 |
0,04 |
41,0 0,68
По формуле 20 предельная ошибка малой выборки составит:
м.в = 2,263(±0,087) = ±0,2% .
Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что во всей партии колбасы содержание поваренной соли находиться в пределах:
= ±м.в .=4,1% ± 0,2%, от 4,1 - 0,2% = 3,9%
до 4,1+0,2% =4,3%.