6.2. Средняя гармоническая
В некоторых случаях для расчета средней пользуются формулой средней гармонической.
Средняя гармоническая - это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака.
Простая средняя гармоническая имеет следующую формулу:
Средняя гармоническая взвешенная имеет формулу
Пусть имеются следующие данные об урожайности и валовом сборе пшеницы в 3-х колхозах (графы 2 и 3 табл. 11).
Таблица 11.
-
Колхозы
Урожайность в ц с га
Валовый сбор пшеницы
Посевная площадь в га
1
2
3
4
1
20
1000
50
2
22
1100
50
3
24
1440
60
Итого
3540
160
Требуется определить среднюю урожайность пшеницы. По-видимому, средняя урожайность может быть определена, если валовой сбор, полученный со всей площади, разделить на величину этой площади.
В графе 4 рассмотренной таблицы приведены данные о посевных площадях каждого колхоза, рассчитанные путем деления валового урожая колхоза на его урожайность.
Для определения средней урожайности следует разделить итог графы 3 на итог графы 4:
Запишем, как был получен этот результат из первоначальных данных, приведенных во 2-й и 3-й графах таблицы:
Считая, что графа
вторая содержит индивидуальные значения
признака, или, как их обычно обозначают,
,
а третья - веса, обычно обозначаемые
,
можем записать этот результат в виде
следующей формулы:
Итак, в данном случае для расчета средней урожайности была использована формула средней гармонической.
Отметим, что веса в данном случае не являлись частотами значений признака в совокупности, а представляли собой произведение самого значения признака на его частоту.
Отсюда можно сделать два вывода: 1) средняя гармоническая рассчитывается в тех случаях, когда располагают данными не о частотах различных значений признака, а об их произведениях на величину признака; 2) вместо средней гармонической всегда можно рассчитывать среднюю арифметическую, рассчитав предварительно на основе исходных данных частоты отдельных значений признака в совокупности.
6.3. Средняя геометрическая
В тех случаях, когда необходимо рассчитать средний коэффициент роста, пользуются средней геометрической.
Пусть имеются данные о росте продукции завода за несколько лет.
Таблица 12.1.
-
Показатели
Годы
1990
1991
1992
1993
Выпуск продукции в млрд. руб.
20,0
33,3
66,7
160,0
Коэффициент роста выпуска по сравнению с предыдущим годом
-
1,67
2,0
2,4
В таблице дан выпуск продукции в млн. руб. и приведены коэффициенты роста выпуска в каждом году по сравнению с выпуском предшествующего года, полученные делением выпуска данного года на выпуск предыдущего.
Необходимо найти
средний годовой коэффициент роста
выпуска с 1990 по 1993 г. Обозначим величины
выпуска через
а коэффициенты роста через
тогда
Необходимо найти среднюю так, чтобы изменение выпуска в последнем году по сравнению с первым осталось неизменным при замене действительных коэффициентов роста их средней величиной. Из написанных выше равенств следует, что
Заменим средним коэффициентом роста каждый из данных:
отсюда
или
Если дано не три коэффициента роста, а n, то формула среднего коэффициента роста будет
Это - формула средней
геометрической. Можно определить средний
коэффициент роста, пользуясь величинами
последнего и первого уровня интересующего
нас явления. Если
Таблица 12.2.
-
Заработная плата в тыс. руб.
Число рабочих
Общая сумма заработной платы
1
2
3
60
30
1800
70
50
3500
80
100
8000
90
20
1800
Итого
200
15100
Выбор формулы средней определяется характером исходных данных.
Если располагаем данными граф первой и второй, то среднюю заработную плату необходимо исчислять, как среднюю арифметическую:
Если располагаем данными граф первой и третьей, то среднюю заработную
плату необходимо исчислять как среднюю гармоническую:
Если необходим расчет средних коэффициентов роста, то прибегают к средней геометрической. Таким образом, выбору вида средней должен предшествовать анализ взаимосвязи имеющихся в распоряжении данных.