Ффэ'(ш)

Рис.

1.5. Частотные характеристики фильтров:

Из выражения (1.34) следует, что дисперсия погрешности экс­траполяции зависит от т и достигает наибольшего значения при Усредняя D_e(т) по т в пределах от 0 до t₀, окончательно по­лучим

Это позволяет рассчитать дисперсию погрешности экстраполя­ции по заданному периоду квантования t₀ и автокорреляционной функции R^. Его можно использовать для определения периода квантования t_Q, если задано наибольшее допустимое значение среднеквадратичной погрешности экстраполяции с* и известна автокорреляционная функция т).

Для этого следует использовать графоаналитический метод (рис. 1.6)

По графику функции R_s(т) определяют такое значение т = t₀, при котором удвоенная средняя высота заштрихованной фигу­ры ABC (т. е. удвоенный отрезок DE будет равна заданному значению (с*)² = D_e. Если УСО содержит звено чистого запаз­дывания т₀ (например, транспортер для переноса пробы от тех­нологического потока до чувствительного элемента ИП), то для расчета среднеквадратичной погрешности экстраполяции можно использовать формулу (1.35) с заменой в ней пределов интегрирования: нижнего на т₀, а верхнего на (t_Q + т₀).

В АСУТП, наряду с ИП непрерывного действия, применяют датчики (ИП) дискретного действия, например при спектрофото- метрии, хроматографии, ИП предельных значений параметра. Они осуществляют квантование по времени измеряемой вели­чины с собственным периодом t_g, который обычно значительно выше периода опроса t_Q.

Для этого случая результирующий период квантования по времени в данном УСО определяется из условия

/₀₈ =/₀[Int(/_g//₀>+1]. (1.35)

Для оценки погрешности экстраполяции можно использовать выражение (1.35) с заменой в нем t₀ на t_g.

«(О

о

Jto

(гН)'о

Рис. 1.6. К расчету среднеквадратичной Рис. 1.7. Линейная интерполяция погрешности экстраполяции функции g(t)

Линейная интерполяция является простейшим методом интерпо­ляции, в основе которого лежит кусочно-линейная аппроксимация функции g(t) на интервале значения jt^t^ij +\)t₀ (рис. 1.7).

Л
A D	В
"Щ	С

Уравнение прямой, проходящей через точки g(Jt₀) и g[(/' + 1)/₀], можно записать в виде

У_ф (0 = [g(t о )r-g(0)(x-t₀ )]//„, (1.36)

где т = t-jt₀ при Os£ts£/₍₁.

Погрешность линейной интерполяции

e_u(O = y₀(t)-g(t). (1.37)

Подставляя в это выражение значение у_ф(() из формулы (1.36), возводя ее в квадрат и усредняя по множеству интервалов, а затем по т в пределах от 0 до t_Q, получим выражение для дис­персии погрешности линейной интерполяции

D, =2/3[Л,<Р)-Л,(*₀)]. (1.38)

Современные ПТК обеспечивают достаточно высокую частоту опроса датчиков, соответственно УСО, поэтому обычно удается обеспечить требуемую точность восстановления измеряемых ве­личин используя простейший метод ступенчатой экстраполяции.

Обычно среди десятков и даже сотен УСО можно выделить несколько групп параметров, близких по частотным спектрам. В этом случае для каждой группы датчиков можно выбрать общий период опроса.

Выбор частоты опроса измерительных преобразователей

(датчиков) через число нулей случайного процесса

Выбор частоты опроса t₀ по формуле (1.35) требует знания корреляционной функции т) случайного процесса g(t). Для по­лучения оценки корреляционной функции необходим значитель­ный объем вычислений (см. рис. 1.6). Однако часто проще и ес­тественнее задать не дисперсию ошибки Д для замены непре­рывного случайного процесса ступенчатым, а отношение этой величины к дисперсии случайного процесса D. При этом следует учесть важность гарантии того, что выбранная частота опроса не приведет к появлению большей относительной погрешности, чем заданное значение, т. е. важно получить оценку сверху для пе­риода опроса t_Q.

Для решения поставленной задачи воспользуемся неравенством

/₀=£4ДД/Д (1.39)

где Д /D — отношение добавочной дисперсии, связанной с заме­ной непрерывного процесса с шагом t₀ к дисперсии случайного процесса D; А — продолжительность корреляционной функции случайного процесса.

Если бы продолжительность корреляционной функции можно было оценить без построения этой функции, то неравенство (1.39) позволило бы оценить интервал опроса /₀. Далее получим оценку величины Д через среднее число нулей случайного про­цесса N₀, т. е. через среднее число пересечений им линии своего математического ожидания в единицу времени. Предварительно отметим, что рассмотрение процессов с корреляционной функци­ей конечной продолжительности более естественно, чем процес­сов со спектральной плотностью, ограниченной частотой среза, так как первые, в отличие от вторых, физически реализуемы.

Известна связь среднего числа нулей N₀ со спектральной плотностью случайного процесса 5(ш)

1

■н»

N² =

(1.40)

JcD²S(CO)dCD.

n²

D

Воспользовавшись этой формулой, можно найти минималь­ную продолжительность корреляционной функции R^, имеющей заданное число нулей N₀.

Анализ размерности правой части формулы для показыва­ет, что среднее число нулей имеет размерность частоты. В каче­стве функционала, имеющего размерность времени, определяем продолжительность Д корреляционной функции т). Таким об­разом, произведение С = Л^Д зависит от формы /^(т) и не зави­сит от выбора масштаба времени. Поэтому первоначально зафик­сируем А = 1 и при этом условии можно искать минимум N₀, а точнее, N₀². Чтобы учесть требование конечной продолжительно­сти корреляционной функции, перейдем во временную область.

Представим S(со) в виде /S(i(£>)/², что соответствует представ­лению х) как свертки двух функций, т. е. г⁺(х) и г~(т), первая из которых определена в интервале (0,1), а вторая в интервале (-1, 1) (рис. 1.8).

Формула для среднего числа нулей может бьггь переписана в вид

е

J[r⁺(x)]²dx

Рис. 1.8. Определение корре­ляционной функции мини­мальной продолжительности

N² =

_2 1

(1-41)

J__o

"^г 1ит>Гл

Чтобы найти минимум N² необхо­дим, как обычно, минимум числителя при фиксированном значении знаме­нателя

.Задача / = Jr²(x)dT -»min при jV²(T)dT = Ц, (индекс «+» для о о

краткости записи опущен) решается с использованием уравнения Эйлера. Составим функционал Лагранжа

L = ] f(r,r)dx = \ f(r² +Xr²)dx

о о

и запишем для него уравнение Эйлера

Э//Эг-d/d/(3//3r) = 0 ->/■'-А. г= О

Его решение (а точнее — множество решений): r(x) = A₀ sinrc&x; к = 1,2,... .

Подставив решение в условие для заданной дисперсии, полу­чим у4₀² =D₀/п.

Величина / при найденных решениях / = D₀k²n² ; тогда I/D₀ = = кп². Это отношение минимально для k = 1. Соответствующее решение г⁺(х) показано на рис. 1.8.

Там же нанесена корреляционная функция R'_g (т), имеющая при заданном среднем числе нулей минимальную продолжитель­ность.

При А = 1 величина C_min оказывается равной единице. Следо­вательно, если фиксировано среднее число нулей А^ то минималь­ная продолжительность корреляционной функции A_min = 1/7V₀.

Возвращаясь к неравенству (1.39) и подставляя вместо Д зна­чение A_min, получим оценку сверху для интервала опроса:

t₀^4A_min(DJD) = (A/N₀){DJD). (1.42)

Пример. Пусть относительная дисперсия, связанная с дисперсностью опроса датчиков, не должна превышать пяти процентов. По формуле (1.42) для /„имеем оценку /„s=(4//V;,)0,05 = 0,2/N₀.

Для получения N„ определяют среднее значение данных случайного процесса, выбирают реализацию такой длины, чтобы функция, описывающая случайный процесс, пересекала линию среднего значения приблизительно 100 раз, подсчиты­вают отношение числа к длине реализации:

N₀=N(T)/T.

Если число пересечений в точности ровно 100, то, обозначив соответствую­щую продолжительность реализации через Т_т, получим

t^O,2T_m/m = 0,002T_m.

Таким образом, на реализации длиной Т_т нужно 500 раз отобрать показания измерительного преобразователя.

Фильтрация измеряемых величин от помех \

Фильтрацией называют операцию выделения полезного сигна­ла измерительной информации y{t) из его суммы с помехой e(t) (см. рис. 1.2). Методы фильтрации обычно основаны на разли­чии частотных спектров функций y(t) и e(t)\ как правило, помеха > бывает более высокочастотной. Для выполнения дальнейших вы­числений примем следующие допущения:

1. Функция y(f) описывает стационарный случайный процесс с известными статистическими характеристиками — математиче­ским ожиданием М^ дисперсией D_y и автокорреляционной функ­цией, подчиняющейся следующему соотношению:

R_y(t) = D_ye^a{x\ где а = const. (1-43)

2. Помеха e(t) также является стационарным случайным про­цессом, не коррелированным с полезным сигналом XOl ДЛЯ нее из­вестны статистические характеристики ¥₍ = 0 и D_e = kD_y, так что

R_e(x) = kD_ye~^ma{x\ (1.44)

где к и т константы (обычно к< 1, т> 1).

В результате фильтрации получают оценку у_ф(() сигнала изме­рительной информации, к которой предъявляют следующие тре­бования:

а) она должна быть несмещенной, т. е. должна удовлетворять условию

М{у_фШ = М_у; (1.45)

б) среднеквадратичная погрешность оценки должна быть ми­нимальной, т. е.

М{[у_ф(Г)-у(т^тт. ' (1-46)

Оценку у_ф(() будем рассматривать как выходной сигнал ли­нейного динамического звена — фильтра с АФХ ИЛ(/со), на вход которого поступает выходной сигнал УСО, т. е. g(i) ~ y(t) + e(t).

Синтез оптимального реализуемого фильтра является доста­точно сложной задачей, при этом требуется достаточно точное задание характеристик полезного сигнала и помехи. Поэтому на практике обычно ограничиваются так называемым параметриче­ским синтезом фильтров, т. е. задают структуру функции И^,(/со), а ее параметры определяют согласно условий (1.45) и (1.46).

Расчет дисперсии погрешности фильтрации обычно выполня­ют в частотной области, используя выражение

°ф =-J^(co)dra. (1.47)

^по

Спектральную плотность функции е_ф(() рассчитывают по фор­муле

(со) = (со)|Ж_ф (/ш)|² + S_y(<s>)\^ (/ш)-1|². (1.48)

Функции 5_е(ш) и S_y(co) являются спектральными плотностями сигналов e(t) и y(t), которые получают в результате преобразова­ния по Фурье автокорреляционных функций (1.43) и (1.44):

2D а

S_y(ю)= ; (1.49)

а +со

2kD_vma

SA®) = ~—-f г- (1.50)

(та) +0)

На практике применяют несколько простых алгоритмов фильтрации, рассмотренных ниже. При этом в АСУТП некото­рые методы фильтрации могут реализоваться как аппаратурно (с использованием специальных аналоговых устройств), так и про­граммно. Поэтому для каждого такого метода фильтрации приве­дены аналоговый и дискретный варианты реализации.

Экспоненциальный фильтр

Импульсная характеристика такого фильтра описывается экс­поненциальной функцией.

В аналоговом варианте экспоненциальный фильтр представ­ляет собой апериодическое звено и описывается дифференциаль­ным уравнением

-^*-+У_Ф«) = к_ф8«), (1.51)

yd t

где у н к_ф — параметры настройки фильтра.

Уравнение (1.51) соответствует АФХ, т. е.

_ к_ф к_ф/у (1.52)

Y+со 1+7^/со

где Гф = 1 /у— постоянная времени фильтра. Из условия (1.45) для статического режима определяют опти­мальное значение параметра к_ф (коэффициент усиления):

к°_ф =1. (1.53)

со

у +со

Определение оптимального значения параметра у осуществля­ется из условия (1.46), для этого предварительно рассчитывают спектральную плотность погрешности экспоненциального фильт­ра по формуле (1.48) с учетом (1.52) и (1.53):

+ SM-

у +С0

Дисперсия погрешности экспоненциального фильтра, соглас­но (1.47) и (1.48) с учетом (1.52), равна

со

dco.

'ф

п

тку²

[(am)² +со² ](у² +со²) (а² +со² )(у² +со²

)

При вычислении этого интеграла оба слагаемых подинте- фального выражения раскладывают на простые дроби, каждая из которых сводится к табличному интегралу вида

1 . (О =—arctg — а а

d(o

тс

'Та

а² +со²

(1.54)

После выполнения соответствующих преобразований получа­ют следующее выражение для дисперсии пофешности фильтра­ции:

а

»Ф=Ч

у+а у+ат

Оптимальное значение параметра настройки у получают из необходимого условия экстремума функции Б_ф(у

)

щ

ау

= D.

= 0,

откуда

(1.55)

-а ₊к(у+ат)-кг/

(у+а)² (у+ат)² 4кт -т

у =а

1 -4к

т

Таким образом, функция Б_ф(у) имеет единственную точку ста­ционарности, тип которой зависит от знака второй производной при Y = 7°. Можно показать, что при выполнении условия

km > 1 (1.55а)

особая точка является минимумом функции ДДу). ^{а П}Р^И выпол­нении условия km < 1 в точке у = у° функция Б_ф(у) достигае

т

максимума. Поэтому если сочетание характеристик полезного сигнала и помехи соответствуют случаю (1.55а), то оптимальное значение параметра настройки определяется по формуле (1.55). Если это условие не выполняется, то оптимальным является наи­большее допустимое значение параметра у.

При программной реализации экспоненциального фильтра дифференциальное уравнение (1.51) заменяют разностным урав­нением вида

1/у[у_Ф (Л-Уф СМ)] +у_Ф U-\)=g(j),

где j — номер цикла расчета.

Отсюда получают следующее рекуррентное соотношение для вычисления сглаженного значения у_ф{/) в очередном у-том цикле расчета:

у_ф(Л=УЕи)+(\-у)у_фи-\). (1.56)

К достоинствам алгоритма экспоненциальной фильтрации от­носятся малая трудоемкость расчетов и малый объем памяти ПТК, в которой должна храниться величина у и обновляемая в каждом цикле расчета величина yJJ — 1).

Фильтр скользящего среднего в аналоговом варианте реализует вычисление среднего значения функции g(t) на интервале време­ни от - Т_ф до (рис. 1.9б):

1 ''г (1-57)

У_ф(0 = ^г j<7(0)de,

где Т_ф — параметр настройки фильтра (время усреднения).

и <1-^ф

а) б)

Рис 1.9. Фильтр скользящего среднего: а) — структурная схема; б) — схема фильтрации

Преобразуем правую часть выражения (1.57), представим его в виде

'i ~^тф

J^(0)d0 = j<7(6)de- |<7(9)сЮ.

49

-Гф о о

4 -4869

Таким образом, фильтр скользящего среднего представляет собой параллельное соединение 2-х интегрирующих звеньев, одно из которых последовательно соединено со звеном запазды­вания (рис. 1.9а), поэтому амплитудно-фазовая характеристика фильтра описывается выражением

Ж,(/ш) = (1-_е-'^)/(/ш Т_ф). (1.58)

Решая совместно (1.47) — (1.50) и (1.58), можно получить выра­жение для дисперсии погрешности й_ф фильтра скользящего средне­го и определить оптимальное значение Т_ф параметра настройки из необходимого условия минимума функции О_ф(Т_ф). Получаемое при этом выражение очень громоздко, неудобно для практического пользования. На его основе рассчитаны номограммы¹, по которым для заданных значений а, ш, к можно определить Т_ф.

При программной реализации фильтра скользящего среднего расчет сглаженного значения У_ф{/) в очередном j-том цикле осу­ществляется по формуле

^y*^ ⁼ irr^[U-s)tol (1.59)

/V +1 5=0

где N= TJt_{) — параметры настройки фильтра.

Для расчетов по формуле (1.59) требуется хранить в памяти ПТК (N+1) значение функции g(jt₀).

Статистические фильтры

Статистические фильтры, в аналоговом варианте представ­ляющие собой параллельное соединение (п + 1) цепочек, состоят из усилительного звена и звена чистого запаздывания. Переда­точная функция такого фильтра

W^O= ^=const, 7=0,1, ...,«. (1.60)

;=о

Статистический фильтр нулевого порядка

Это простейший среди фильтров данной группы. Его переда­точная функция формируется из формулы (1.60) при N= 0, т. е. это просто усилительное звено, выходной сигнал которого

у_ф(0 = b^t). (1.61)

¹ Ицкович Э. Л. Контроль производства с помощью вычислительных машин. М.: Энергия, 1975, 416 с.При непосредственном использовании формулы (1.60) сгла­женная функция y_n(t), т. е. ее математическое ожидание не будет равно m_g. Действительно, усредняя левую и правую части (1.61) с учетом суммарного сигнала и т_е = 0, получим

М[_Уф(()]=Ь₀т_у*т_у.

Для получения несмещенной оценки к правой части (1.61) необходимо прибавить постоянный член а, удовлетворяющий ус­ловию b₀m_y + а = т_у, откуда а = т_у( 1 - Ь_п).

Таким образом, формула (1.61) приобретает вид

y^t) = b₀g(t)+m_y{\-b_Q), (1.62)

где Ь_в — параметр настройки фильтра.

Погрешность фильтрации, согласно (1.45) и (1.62) с учетом суммарного сигнала, равна

\^е_Ф(^{) =М0 -/(00 - ь₀), (I-⁶³)

где y(t) = у(() - т(у) — центрированная функция y(t).

Возводя левую и правую части формулы (1.63) в квадрат и усредняя, получим следующее выражение для среднего квадрата погрешности фильтрации:

Dl=blD_e+{\-b_Q)D_y. (1.64)

Оптимальное значение параметра настройки Ь₀, полученное из необходимого условия минимума функции О_ф(Ь₀), равно = = D_y/(D_y+D_e).

Ему соответствует минимальная среднеквадратичная погреш­ность фильтрации

min = Д, / (1 + к). (1.65)

Как видно из (1.65), статистический фильтр нулевого порядка при оптимальной настройке снижает случайную погрешность сигнала измерительной информации в (1+&) раз.

При программной реализации статистического фильтра нулево­го порядка расчет сглаженных значений производится по формуле

у_Ф(»о) = Wo) + 0-*oK (^L66)

Статистический фильтр первого порядка

Передаточную функцию такого фильтра получают из (1.60) при N= 1:

W = + где b₀, Ь_{, х — константы.

4* 51

Зависимость от времени выходного сигнала этого фильтра имеет следующий вид:

У_Ф(0 = ^boSi⁽) + b_{g{t - т). (1.67)

Усредняя левую и правую части этого выражения и учитывая величину суммарного сигнала, получим

м[у_ф(о]=(ь₀+ь₁)т_у.

Для выполнения условия несмещенности оценки у_ф((), т. е. условия М[у_ф{{)\ = т_у, коэффициенты Ь₀ и Ь_и очевидно, должны удовлетворять соотношению ft, = 1 - Ь₀, с учетом которого форму­ла (1.67) приводится к виду

Уф(⁽) = b<g(t) + (1 - b₀)g(t-x), (1.68)

где b_t) ит — параметры настройки статистического фильтра пер­вого порядка.

Погрешность фильтрации е_ф(/), согласно величине суммарного сигнала, (1.44) и (1.68), равна

е_ф(0 = ЬУ(1) + (1 - b₀)f(t - х) + V(0 + (1 ~ b₀)e(t - x) + m, (1.69) а дисперсия погрешности

(1 - 2b₀){D_y + D_e) + 2Ь_й(\ - b₀)[R_y(x) + ВД] + т]. (1.70) Оптимальное значение параметра настройки Ь₀ получаем из

эд»

условия —— = 0, тогда Э Ь₀

_bo_l Dy +D. (1.71)

⁰ 2 2[Д,(х)+ад]'

В большинстве случаев статистические фильтры реализуются программно, поэтому второй параметр настройки х совпадает с периодом t₀ квантования по времени функции g(t).

Сравнительный анализ фильтров по совокупности показате­лей (точность, трудоемкость, потребный объем памяти ПТК и др.) показал (Ицкович Э. Л.), что для аналогового варианта це­лесообразно использовать экспоненциальный фильтр, а для про­граммной реализации — экспоненциальный или статистический фильтр первого порядка.

52