Каскадная модель

Под каскадной моделью следует понимать модель конечного числа последовательно соединенных аппаратов идеального сме­шения (рис. 13.6).

По своим характеристикам эта модель является промежуточ­ной между моделями идеального смешения и полного вытесне­ния. При последовательно соединенных аппаратах п—прихо­дим к модели аппарата идеального вытеснения, при п = 1 имеем модель идеального перемешивания. Каскадная модель п последо­вательно соединенных аппаратов описывается п уранениями апе­риодических звеньев первого порядка.

а)

Рис. 13.6. Каскадная модель: а) схема процесса; б) изменение концентрации в зависимости от числа аппаратов

Математическая модель цепочки звеньев имеет вид

!£l=L_(C -о

(13.23)

dt x^{(fc L,h}

^гД^е С,_,, а передаточная функция соответственно равна:

W.

Т_по+1

пр

1 1 1

(13.24)

1 р гр

V,

где T_i = х, = —, V — вместимость /-го аппарата, со

Каскадную модель обычно применяют для описания много­секционных аппаратов при перемешивании в каждой секции (та­релочные или полочные колонны) и каскадов аппаратов с ме­шалками.

Диффузионные модели

Описания процессов в аппаратах вытеснения могут быть ос­ложнены наличием продольной и поперечной диффузии. Если учитывать только продольную диффузию, т. е. обратное переме­шивание, то математическое описание процессов этого аппарата имеет вид

dС dС _ d²С (13.25)

— = -со—+D,—-, ^{v ;}

d t cbc dx²

где D, — кажущийся коэффициент продольной диффузии.

Таким образом, в уравнении модели появляется еще один член со второй производной, учитывающий диффузию вещества.

При учете эффекта продольной диффузии, а также при отсут­ствии полного перемешивания в поперечном направлении урав­нение (13.25) дополняется еще одним членом, учитывающим диффузию в поперечном направлени

и

(13.26)

где D_r — кажущийся коэффициент поперечной диффузии.

13.5. Модели массобменных процессов

В массообменных процессах (при абсорбции и десорбции га­зов, ректификации жидкостей и газов, экстракции жидких и твердых веществ, сушки материалов и др.) происходит перенос вещества из одной фазы в другую. Математические модели этих технологических процессов строятся на основе законов массопе- редачи. Массопередача — это процесс переноса вещества из об­ласти высокой концентрации в область менее высокой концен­трации путем диффузии. Различают молекулярную диффузию, т. е. процесс в неподвижной среде, и конвективную диффузию, т. е. процесс в движущейся среде. Количественной мерой массо- передачи является диффузионный поток, т. е. отношение массо­вого расхода к площади поверхности массопередачи.

Передача вещества в неподвижной среде определяется зако­ном Фика, согласно которому диффузионный поток / пропор­ционален градиенту концентрации

(13.27)

где D — коэффициент диффузии; С — концентрация диффунди­рующего вещества.

Координата L направлена по нормали к площади поверхно­сти, через которую осуществляется массопередача.

Под градиентом концентрации понимается предел отношения разности концентрации к длине по направлению диффузии. Ко­эффициент диффузии представляет собой отношение массового расхода к площади поверхности и к градиенту концентрации данного вещества. Коэффициент диффузии различен для различ­ных веществ и зависит от температуры и давления.