13.4. Модели гидродинамики потоков

Для составления математических моделей многих аппаратов (процессов) необходимо иметь представление о характере переме­щения вещества в них, т. е. о гидродинамике потоков. Существу­

ют три основных типа моделей гидродинамики потоков, которые можно использовать для их математического описания. При раз­работке систем управления следует учитывать, что применение этих моделей является достаточным для получения требуемой точности решения.

Основные уравнения гидродинамики потоков в большинстве своем имеют сложный вид, поэтому при составлении математи­ческих описаний целесообразно использовать упрощенные пред­ставления о характере гидродинамических потоков.

Модель идеального (полного) перемешивания

В аппарате идеального перемешивания поступающий поток мгновенно перемешивается со всем объемом содержащегося ве­щества. Условия протекания процесса во всех точках аппарата одинаковы и совпадают с условиями на его выходе.

Изменение концентрации вещества в аппарате полного пере­мешивания описывается уравнением материального баланса:

dС _ F(C₀ -Q (13.19)

d t V

где ^—объемный расход вещества на входе в аппарат, м³/с; С₀ и С — концентрация вещества внутри аппарата и на его выходе, г/м³; V — вместимость аппарата.

При скачкообразном изменении концентрации на входе аппа­рата концентрация вещества на выходе меняется от 0 до 1 при изменении t от 0 до °о. Схема процесса и кривая разгона приве­дены на рис. 13.4 (концентрация С₀ изменяется скачком на входе в аппарат).

Используя преобразование Лапласа, можно получить переда­точную функцию для процесса идеального перемешивания, кото­рая представляет собой апериодическое звено первого порядка:

СО СО

а)

Рис. 13.4. Схема процесса идеаль­ного (полного) перемешивания:

c„(Oi

ДО

а) схема; б) кривая разгона

W_p =С(р)/С₀(р) = \/(т_р+\). (13.20)

Модель идеального (полного) вытеснения

В аппарате идеального вытесне­ния предполагается полное отсутст­вие продольного перемешивания, т. е. перемешивания в направлении движения вещества, но наличи

еполного перемешивания в поперечном направлении. Время пре­бывания всех частиц вещества в аппарате одинаково и равно времени прохождения его от начала до конца аппарата.

Дифференциальное уравнение для элемента потока имеет вид

dC ₌ ^dC (13.21)

dt дх

Схема процесса и кривая разгона для этого случая представ­лены на рис. 13.5.

C0+dC С0(/)		1		<4

a) cu)

Рис. 13.5. Схема процесса идеального (полного) вытеснения: а) схема; б) кривая разгона

При определенных граничных условиях это уравнение соот­ветствует звену чистого запаздывания со временем запаздывания х, передаточная функция которого имеет вид

W_p -е'^рх, (13.22)

т. е. в аппарате идеального вытеснения входной сигнал (единич­ный ступенчатый), не искажаясь, переносится к выходу за время х. Выходной сигнал C_K(t) совпадает по форме с входным, но сдвинут по оси на единицу (рис. 13.5, б).