13.2. Методика математического описания объектов

УПРАВЛЕНИЯ

По виду уравнения (13.2) различают модели, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных по пространственным координатам (при распределенности некоторых параметров у_и у₂, ..., у_т), обыкновенными дифференциальными уравнениями и конечными уравнениями. Дифференциальные уравнения в свою очередь подразделяются на линейные и нели­нейные. Описания конечными уравнениями наиболее просты. Они подразделяются на алгебраические и трансцендентные, в ко­торые входят различные функции (показательные, тригонометри­ческие и др.). Совокупность математических описаний, характери­зующих установившийся во времени режим работы объекта, опре­деляет математическое описание его статики. Уравнения, определяющие зависимость установившихся выходных координат у объекта от входных координат х, называются статическими харак­теристиками. Они необходимы для правильного выбора парамет­ров аппаратов и машин при проектировании технологического процесса, для определения нормальных режимов работы оборудо­вания, оптимизации технологических процессов и конструирова­ния объектов с заранее заданными свойствами.

Совокупность математических выражений, характеризующих изменения выходных координат во времени, представляет собой математическое описание динамики. Уравнения, определяющие зависимость изменения выходных координат объекта от измене­ний входных возмущающих воздействий, называются динамиче­скими характеристикам и являются дифференциальными уравне­ниями. Переходные процессы в объектах с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Примерами таких процессов могут быть процессы заполнения емкости или теплопередачи в нее и др. Так, процесс заполнения емкости с веществом при расходе одного из подво­димых веществ G_p изменившемся по сравнению с его значением в статическом режиме <7„ можно описать простым дифференци­альным уравнением аналогично выходным координатам (давле­нию, уровню и т. п.).

^ = (13.3)

В математическое описание динамики объекта входят диффе­ренциальные уравнения отдельных звеньев, которыми описывает­ся объект, алгебраические уравнения связей между звеньями, на­чальные и граничные условия и ограничения на диапазоны вход­ных и выходных сигналов и управляющих воздействий. Если звено имеет распределенные параметры (характеризуется про­странственным изменением), то уравнения динамики задаются в форме дифференциальных уравнений в частных производных.

Основные объекты управления в, пищевой промышленности являются сложными объектами с распределенными параметрами. Динамическая система их нелинейна. Однако в большинстве слу­чаев характеристики их технологических процессов легко подда­ются линеаризации. Экспериментальное определение статических и динамических характеристик объектов управления осуществля­ется методами активного и пассивного эксперимента.

Методы активного эксперимента

Статические и динамические характеристики объекта опреде­ляются с помощью экспериментальных методов при детермини­рованных воздействиях. Основное внимание при этом сосредото­чивается на изучении конструкции и технологических режимов работы объекта, выявлении основных входных возмущений и ре­гулирующих воздействий, выходных регулируемых и контроли­руемых величин, а также определении ограничений параметров объекта. Предварительная информация об объекте позволяет со­ставить априорную схему на которой обозначаются основные входные л:,(0, x₂(t), ... и выходные >>,(0, y₂(t), ... величины и кана­лы связи между ними и воздействия на них. Например, для хле­бопекарной печи такая схема имеет следующий вид (рис. 13.1):

	ТОУ

Рис. 13.1. Параметрическая схема хлебопекарной печи

При наличии у объекта нескольких входов и выходов и внут­ренних прямых и перекрестных связей между ними его структур­ную схему можно преобразовать в схему с несколькими входами и одним выходом. Эти преобразования можно осуществить и при наличии в объекте внутренних обратных связей. Далее для каждой из входных и выходных величин определяют уровень флуктуаций, основные источники помех и изыскивают способы их устранения или стабилизации при нормальной работе объекта. При проведе­нии эксперимента нужно спланировать выбор возмущающих воз­действий, определить число необходимых опытов и амплитуды сигналов при испытаниях. При этом следует оценить продолжи­тельность эксперимента и переходного режима Т_у выходной вели­чины y(t) при резких изменениях входной величины x(t).

Для снятия статических характеристик устанавливается диапа­зон изменения входных и выходных величин согласно технологи­ческим условиям процесса.

Для определения динамических характеристик необходимо определить вид испытательного воздействия и его амплитуду. Пе­риодически формирующиеся сигналы используются для опреде­ления динамических характеристик объектов частотными метода­ми, а апериодические — методами переходных функций. Гармо­нические воздействия являются приемлемыми, но тогда необходим специальный генератор колебаний. Целесообразно применение прямоугольных или трапецеидальных воздействий.

Ориентировочный диапазон частот входного воздействия вы­бирается так, чтобы фазовый сдвиг между входными и выходны­ми колебаниями составлял 90 + 250 градусов.

Выбор вида апериодических воздействий определяется задача­ми исследования объекта. Если исследуются свойства объекта в области низких частот, то используются ступенчатые сигналы, а в области высоких частот — импульсные сигналы.

Значительное влияние на точность определения динамических характеристик объекта при апериодических воздействиях оказы­вает величина амплитуды А испытательного сигнала. Практика показывает, что амплитуду испытательного сигнала следует выби­рать в пределах (0,05 + 0,15) х_тах; где л:_тах — максимальное значе­ние входной величины, определяемое расчетной производитель­ностью данного объекта.

Уравнения статики описывают поведение объекта в устано­вившемся режиме, т. е. определяют взаимосвязи между входными х(() и выходными y{t) параметрами объекта, когда все производ­ные функции x₂(t), ..., y_x{t), y₂(t) ... по времени равны нулю. В общем виде статическая характеристика любого объекта с /и-входами имеет следующую функциональную зависимость:

y_i=F(x_l,x₂,...,x_m), (13.4)

где х, у — соответственно входные и выходные величины; / — по­рядковый номер величины.

Для хлебопекарной печи (см. рис. 13.1) эта зависимость имеет следующий вид:

У\ =F(x_{,x₂, ..., х₅); у₂ = F(x₃, x₄, ..., х₅). (13.5)

Важная часть статической математической модели — системы неравенств, которые определяют ограничения входных и выход­ных величин объекта, определяемые условиями безаварийной ра­боты, прочностью, конструкции, требуемым качеством продукции и т. п.:

v . =Sv =Sv • х =ёх =ёх ПЗ 6}

si mm /'Si max' /и min ^ /»^ /и max' \i~f.\j/

Активные методы экспериментального определения статиче­ских характеристик промышленных объектов сводятся к измене­нию входной величины х и регистрации установившегося значе­ния выходной величины у. При этом время переходного периода Т определяют как время, за которое амплитуда переходной функ­ции исследуемого объекта достигает 98% уровня своего установив­шегося значения. Неконтролируемые входные величины во время эксперимента должны быть стабилизированы. Таким образом, входная величина x_t(t) последовательно изменяется от минималь­ного значения х, _min до максимального х, _тах. Другая входная вели­чина поддерживается при этом постоянной. Если во время экспе­римента произойдут посторонние возмущения объекта, то опыт необходимо повторить. Аналогичная серия опытов проводится при изменении входной величины x₂(t), являющейся в данном случае параметром. В результате получают таблицы соответствий

////; // X₂(t)-*y₂(t) //; X,(0-^,(0 при (/=1, 2, 3, ..., я),

где п — число различных уровней входных величин х,(7) и х,(/).

По данным таблиц соответствий строятся графики, которые для линейного объекта аппроксимируются линейной зависимостью

у_х = а₀ + о,х, + а₂х₂. (13.7)

Аналогично определяется статическая характеристика объекта по второму входу х₂ и т. д. Число входов не влияет на методику определения статических характеристик.

Часто экспериментальные статические зависимости, определен­ные в достаточно широком интервале изменения x(t), оказываются нелинейными. Для определения величин «малых» возмущений x(t), при которых экспериментальная статическая характеристика y=j{x) отличается не более чем на Ду от прямой линии, проводят ее линеа­ризацию в окрестности рабочей точки аппарата (процесса). Обычно используют два способа линеаризации: полученную непрерывную функцию y=J(x) разлагают в ряд Тейлора с центром в рабочей точке Хд или аппроксимируют методом наименьших квадратов.