11.10. Примеры аттестации алгоритмов обработки данных

Построение функциональных зависимостей алгоритмов дан­ных х,, ..., х_п при прямых измерениях происходит в следующей последовательности.

В этом случае наиболее рационально простое усреднение данных:

(11.12)

Этот критерий оптимален по многим параметрам при гауссо­вом распределении погрешностей и их статистической независи­мости. Однако при отклонениях от него и при наличии грубых погрешностей точность оценки значительно снижается. При гаус­совом распределении, но коррелированных погрешностях данных оптимально усреднение с различными весовыми коэффициента­ми, при этом крайним значениям придается больший вес.

Простейшими устойчивыми оценками среднего являются усе­ченные средние, которые получаются при отбрасывании задан­ной доли (0 < а < 0,5) наименьших и наибольших членов упоря­доченной выработки и усреднении оставшихся членов:

(11.13)

где х[<х'_г< ...<х'_п, к=[па].

med =

При этом долю а можно выбирать малой (чаще а = 0,05) или значительной (например, ос = 0,25). Предельным случаем усечен­ных средних является выборочная медиана, т. е. среднее значе­ние в упорядоченной выборке:

х'_к+\ при п = 2к+\,

\/2(х'_к+х'_м') при п = 2к.

Однако медиана является устойчивой оценкой, но ее точность при гауссовом распределении невысокая. Ее следует рассматри­вать как эвристическую, она может быть получена как оптималь­

ная при экспоненциальном распределении погрешностей и кри­терии максимального правдоподобия.

Таким образом, основными характеристиками точности алго­ритмов обработки данных при прямых измерениях могут быть:

Я,(а) = а(а) — СКО погрешности;

Я₂(а) = В(а) — смещение оценки;

П₃(а) = Д(а) — граница систематической погрешности, основ­ной показатель устойчивости П„(а) = а*(а) — точка срыва.

Так как все приведенные оценки несмещенные, достаточно указать лишь СКО, причем следует записать его в относительной форме, по отношению к СКО среднего х:

(11.14)

Задачи и алгоритмы построения зависимостей можно подраз­делить на две группы: регрессионные и конфлюентные.

В регрессионных задачах предполагается, что погрешности измерений аргументов х, очень малы по сравнению с погрешно­стями измерений откликов у, В конфлюентных задачах по­грешностями измерений аргументов пренебрегать нельзя. В каж­дой из этих групп выделяются оптимальные, устойчивые и эври­стические алгоритмы. Наиболее распространенным является метод наименьших квадратов (МНК), который оптимален при гауссовом распределении погрешностей и точно известных х,.. Из устойчивых алгоритмов простейшим является усеченный МНК, который аналогичен усеченным средним. Для конфлюентных ме­тодов характерно использование дополнительной информации: либо о дисперсиях погрешностей x_i или >>,, либо о группировке (упорядочении) значений х_г

При аттестации обычно рассматривают однородные группы алгоритмов для построения зависимостей определенного вида, например:

(11.15)

где ф_у ..., (p_t — заданные функции.

Поэтому характеристики алгоритмов необходимо определять применительно к погрешностям оценивания коэффициентов а_у Основными характеристиками точности алгоритмов являются: границы методической составляющей; СКО случайной состав­ляющей трансформированной погрешности; границы системати­ческой составляющей трансформированной погрешности.

Характеристики устойчивости определяются так же, как и в случае прямых измерений.

Наиболее распространенными из типовых моделей для атте­стации алгоритмов следует считать регрессионные модели:

х,-точные; у, = £о_уФ,(х,.)+е,4(11.16)

м

Для традиционной регрессионной модели случайные погреш­ности 0j имеют гауссовы распределения, для расширенной рег­рессионной модели — засоренные гауссовы распределения.

Применяют и конфлюентную модель

X,. =Х, +Q_X, ч,; = 2>/Р,(*,)+в* ^(11Л7)

>1

причем распределения погрешностей 0_Х1. и — гауссовы.

Рассмотренные нами модели являются основными для сопос­тавления алгоритмов построения зависимостей.