4. Другие виды уравнений прямой на плоскости.

Определение. Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой, если он коллинеарен любому вектору, принадлежащему этой прямой.

Положение прямой на плоскости можно зафиксировать, задав точку принадлежащую ей, и направляющий вектор этой прямой.

Обозначим координаты этого вектора . (12)

Тогда, если произвольная точка принадлежит прямой , то вектор коллинеарен направляющему вектору . (см. рис. 7). Из условия коллинеарности двух векторов следует, что , где - параметр, зависящий от положения точки на прямой и .

Параметрические уравнения прямой.

Координаты вектора . Так как векторы и равны, их соответствующие координаты совпадают, то есть и . Отсюда следует система двух уравнений, которая связывает координаты всех точек прямой : (13)

Полученная система уравнений называется параметрическими уравнениями прямой

Каноническое уравнение прямой.

Так как векторы и коллинеарны, их соответствующие координаты пропорциональны (условие коллинеарности векторов). Исходя из этого, выражая параметр из (13), получаем уравнение, которое связывает координаты всех точек прямой :

(14)

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой

Пример 8. Составим каноническое и параметрические уравнения прямой проходящей через точку пересечения прямых

и параллельно отрезку где

Решение. Найдём точку пересечения заданных прямых . Для этого составим систему уравнений этих прямых.

или

Решив эту систему, получим координаты искомой точки . В качестве направляющего вектора прямой возьмём вектор

. И теперь составим каноническое уравнение прямой :

(см. (14)), а также её параметрические уравнения:

(см.(13)). Ответ: или .

Векторное уравнение прямой.

Если зафиксированная точка и произвольная точка прямой заданы своими радиус-векторами (см. рис. 9)

и , то или .

Отсюда следует, что для радиус-вектора любой точки прямой имеет место уравнение

. (15)

Это уравнение называется векторным уравнением прямой

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Если прямая походит через две точки, заданные своими координатами и , то вектор является направляющим вектором этой прямой. То есть . В этом случае из канонического уравнения (14) следует уравнение прямой следующего вида:

(16)

Это уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пример 9. Составим уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника с вершинами в точках .

Решение. Так как на каждой из искомых прямых известны по две точки, составим их уравнения, взяв за основу уравнение вида (16).

Для уравнения прямой, проходящей через точки и , за точку с координатами примем , а за точку - точку .

Тогда уравнение прямой : , или .

Аналогично, уравнение прямой :

, или .

И, наконец, уравнение прямой : или , откуда следует:

Замечание. Уравнение прямой сравним с каноническим уравнением (14). Видим, что , это координаты направляющего вектора (см.(12) и рис.8). Так как , вектор , а, следовательно, и сама прямая перпендикулярны оси . Поэтому уравнение этой прямой имеет вид .

Ответ: