2. Общее уравнение прямой.

Отметим, что уравнения прямой вида (2) и (3), рассмотренные ранее, являются линейными. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Множество точек плоскости принадлежит прямой тогда и только тогда, когда их координаты удовлетворяют линейному уравнению, а именно, уравнению вида

, где (4) то есть и одновременно не равны нулю.

Уравнение вида (4) называется общим уравнением прямой на плоскости.

Все рассмотренные уравнения прямой связаны между собой. Так, например, при и уравнение (4) приводится к уравнению с угловым коэффициентом вида (2): , где .

При , равнение (4) после преобразования приводится к уравнению вида с угловым коэффициентом .

При , получаем из (4) уравнение что соответствует уравнению вида (3).

Обратно, если уравнение с угловым коэффициентом вида (2) переписать в виде , то оно будет соответствовать общему уравнению вида (4).

Пример 3. Выясним, под каким углом прямая пересекает ось , и найдем точки ее пересечения с осями координат.

Решение. Приведем уравнение заданной прямой к виду (2), то есть запишем её уравнение с угловым коэффициентом. Выразив из исходного уравнения этой прямой, получим уравнение .

Отсюда следует, что и . Следовательно, искомый угол таков, что (см.(1)), т. е. - угол, под которым данная прямая пересекает ось .

Ось пересекается прямой в точке с ординатой , т. е. в точке . (см. рис.2)

Чтобы найти точку , в которой прямая пересекает ось , учтем, что в этой точке координата , и подставив в уравнение заданной прямой

, получим . Т.е. координаты точки .

Ответ.

3. Взаимное расположение прямых на плоскости.

Прямые на плоскости могут быть параллельными, то есть не иметь ни одной общей точки, совпадать или пересекаться, то есть иметь ровно одну общую точку.

Угол между пересекающимися прямыми.

Пусть на плоскости заданы пересекающиеся прямые и . (см. рис.7)

Обозначим через угол между этими прямыми. Из геометрических соображений следует, что .

Тогда .

Если требуется найти острый угол, образованный прямыми, то используем формулу с модулем

. (5)

В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом вида (2), а именно и , формула принимает вид

, (6)

так как и .

Когда прямые заданы общими уравнениям, а именно

и , формула выглядит иначе:

. (7)

В таком виде эта формула получается, если учесть, что .

В частности, если прямые и взаимно перпендикулярны, т.е. угол между ними и , то в зависимости от того, в каком виде заданы уравнения прямых, имеют место условия:

Условие параллельности двух прямых на плоскости.

Если прямые и параллельны, то угол между ними . Тогда и из формул (6) и (7) в зависимости от вида уравнений следуют условия:

Пример 4. Прямые заданы своими уравнениями и . Найдем координаты точки их пересечения .

Решение. Точка пересечения двух прямых принадлежит им обеим, поэтому ее координаты удовлетворяют одновременно одному и другому уравнению, а следовательно, являются решением следующей системы.

или .

Решим эту систему по формулам Крамера, для чего вычислим три определителя:

главный определитель системы ,

и вспомогательные , .

Получаем координаты искомой точки: , .

Ответ: .

Пример 5. Составим уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Решение. Возможны два способа решения этой задачи. Способ 1. Так как точка принадлежит искомой прямой и лежит на оси , эта прямая отсекает от оси отрезок ОМ, величина которого . Преобразуем уравнение данной прямой в уравнение с угловым коэффициентом (см.(2)).

Получим . Угловой коэффициент этой прямой .

Так как искомая прямая параллельна данной, ее угловой коэффициент (см.(10)). Подставим найденные и

в уравнение прямой и получим искомое уравнение: . Или в общем виде .

Способ 2. Составим общее уравнение прямой, удовлетворяющей условиям задачи (см.(4)). В условии дано общее уравнение прямой . Из сравнения этого уравнения с уравнением вида (4) имеем . Так как искомая прямая параллельна данной, имеет место условие (см.(11)). Допустим, что . Тогда уравнение имеет вид

. Чтобы найти , используем условие принадлежности точки искомой прямой. Подставим ее координаты в уравнение :

.

Окончательно получим уравнение Ответ:

Пример 6. Составим уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Решение. Составим уравнение искомой прямой в общем виде (см.(4)). Так как в условии дано общее уравнение прямой в виде (4), имеем . Из условия перпендикулярности прямых и следует выполнение условия или (см.(9)). Пусть . Тогда искомое уравнение примет вид: .

Так как точка принадлежит прямой , ее координаты удовлетворяют этому уравнению. То есть , откуда получаем . И теперь искомое уравнение прямой принимает окончательный вид: .

Ответ:

Пример 7. Выясним, пересекаются ли прямые и , и если пересекаются, то вычислим острый угол между ними.

Решение. Проверим, выполняется ли условие параллельности данных прямых и (см. (11)). Из уравнений этих прямых следует, что , , и а То есть . Условие параллельности для данных прямых не выполняется. Следовательно, прямые не параллельны, а значит, они пересекаются. Пусть - угол между прямыми. Тогда из формулы (7) следует, что тангенс этого угла .

Ответ. .