Московский государственный технический университет

имени Н.Э. Баумана

Факультет «Фундаментальные науки»

Кафедра «Математическая физика и вычислительная математика»

И.В. Дубограй, о.В. Скуднева, в.Ю. Чуев. Прямая на плоскости Электронное учебное издание

Методические указания к решению задач

по теме

Москва

УДК №3.11/12, №4.11/12

Рецензент: доц., к.ф.-м.н., Леонид Дмитриевич Покровский

Дубограй И.В., Скуднева О.В., Чуев В.Ю..

Прямая на плоскости: электронное учебное издание. - М.: МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2014. 35 с.

Издание содержит основные понятия и определения по теме "Прямая на плоскости», предусмотренные учебным планом МГТУ им. Н.Э.Баумана. Представлен справочный материал, содержащий основные определения, формулировки необходимых теорем. Даны подробные решения задач со ссылками на необходимые формулы.

Для студентов МГТУ имени Н.Э. Баумана всех специальностей.

Электронное учебное издание

Дубограй Ирина Валерьевна

Скуднева Оксана Валентиновна.

Чуев Василий Юрьевич

Прямая на плоскости

© 2014 МГТУ имени Н.Э. Баумана

2. 

Введение

В данном пособии представлен справочный теоретический материал, необходимый для освоения одного из важных разделов аналитической геометрии. В сжатой форме изложены все необходимые сведения из теории, подробно разобраны решения типовых задач.

Разделы «указаний» полностью соответствуют программе обучения студентов, утверждённой методической комиссией МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Авторы преследовали цель активизировать самостоятельную работу студентов, улучшить качество подготовки учащихся по данному разделу математики.

Методические указания предназначены для студентов первого курса всех специальностей, а также будут полезны студентам старших курсов в качестве справочного материала.

1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Зафиксируем на плоскости декартову прямоугольную систему координат с началом координат в точке и осями координат и . Построим на плоскости некоторую прямую и выясним, как связаны между собой координаты и ее точек. Составим уравнение этой прямой, то есть уравнение, которому будут удовлетворять координаты всех точек этой прямой и не будут удовлетворять координаты ни одной точки, не принадлежащей ей.

Положение прямой на плоскости с выбранной системой координат можно определить различными способами. Соответственно этому выбору уравнение прямой будет иметь в каждом случае свой вид.

Определение. Углом наклона прямой называется направленный угол , на который нужно повернуть ось , чтобы её положительное направление совпало с одним из направлений этой прямой.

Угол наклона прямой может принимать различные значения, отличающиеся друг от друга на величину , где . Поэтому в качестве направленного угла наклона берут наименьшее положительное значение угла . А если прямая параллельна оси , то считают

Таким образом, .

Отметим, что для заданной прямой все значения её угла наклона имеют один и тот же тангенс, т.к. , где

Определение. Тангенс угла наклона прямой называется её угловым коэффициентом.

Обозначим его следующим образом: . (1)

В частности, если угол то есть прямая параллельна оси , то ; а если угол , то не существует, и, так как

, в этом случае прямая параллельна оси ОУ и углового коэффициента не имеет.

Если прямая не параллельна оси , то она пересекает эту ось в некоторой точке , отсекая на оси отрезок , длину которого обозначим через . Введем понятие направленного отрезка, а именно, будем считать, что , если точка лежит выше оси , и в противном случае.

Положение прямой на плоскости определяется однозначно, если заданы величины и . (см. рис. 1,2,3,4)

При любом расположении прямой , не параллельной оси , отсекающей на оси направленный отрезок величины и имеющей угловой коэффициент , координаты ее точек удовлетворяют уравнению

(2)

Если же прямая параллельна оси , то все ее точки таковы, что для их координат выполняется условие, которое и является уравнением этой прямой:

, (3)

где - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси .

Уравнение вида (2) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пример 1. В прямоугольной системе координат построим прямую, заданную уравнением .

Решение. Сравним данное уравнение с уравнением прямой вида (2). Угловой коэффициент прямой, уравнение которой дано в условии, . Отрезок, отсекаемый ею от оси ОУ, имеет величину , т.е. этой прямой принадлежит точка . (см. рис.1)

Так как (см.(1)), а тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, можно определить положение прямой, построив прямоугольный треугольник с катетами , параллельным оси , и , параллельным оси , такими, что их длины и . (см.рис. 5)

Тогда , т.е. угол при вершине является углом наклона заданной прямой. Отрезок принадлежит заданной прямой. Продолжив его, строим саму прямую.

Пример 2. Составим уравнение прямой, пересекающей ось в точке и проходящей через точку .

Решение. Построим в системе прямую, проходящую через заданные в условии точки, и выясним, чему равны ее угловой коэффициент и величина . По этим двум параметрам составим искомое уравнение, взяв за исходное уравнение (2). (см. рис.6)

Из рис.6 следует, что величина и угол наклона прямой . Сравните с рис.4. Очевидно, что координаты точки . Острый угол в треугольнике имеет тангенс . Тогда угловой коэффициент данной прямой . (см.(1)).

Подставляем найденные в уравнение (2) и получаем .

Ответ: