Тема 5. Теория вероятности и математическая статистика

Понятие события. Определение вероятности. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Независимость случайных событий. Основные понятия комбинаторики. Математическое ожидание и дисперсия: их свойства, правила вычисления. Функции распределения случайных величин. Задачи математической статистики. Функции выборки. Некоторые важнейшие распределения. Методы оценки параметров распределений. Случайная выборка, понятие генеральной совокупности. Выборочное среднее и выборочные дисперсии. Типовые выборочные распределения.

В результате изучения темы студент должен

иметь представление:

- о случайных событиях;

- об определении вероятности события;

- о задачах математической статистики;

- о случайных выборках;

- о функциях выборки;

- о некоторых важнейших распределениях;

- о методах оценки параметров распределений;

знать:

- понятия: событие, частота и вероятность появления события, совместные и несовместные события, полная вероятность;

- теорему сложения вероятностей;

- теорему умножения вероятностей;

- комбинаторные задачи;

- правила вычисления среднего значения и дисперсии;

- свойства математического ожидания;

- среднее квадратичное отклонение случайной величины;

уметь:

- находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение вероятностей;

- решать задачи с применением теоремы сложения вероятностей для несовместных событий;

- решать задачи раздела «Комбинаторика»;

- вычислять математическое ожидание и дисперсию;

- находить среднее квадратичное отклонение случайной величины.

Методические указания к выполнению контрольной работы № 1

Комплексные числа.

По данной теме ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Ответьте на вопросы и выполните упражнения для самопроверки.

Определение комплексного числа.

Определение 1. Комплексным числом z называется выражение вида а + bi, (1)

где а и b – действительные числа, символ i удовлетворяет условию i² = - 1 .

Число а называется действительной частью комплексного числа, bi – мнимой частью, i – мнимой единицей.

Определение 2. Два комплексных числа z₁= a +bi и z₂ = c + di называются равными, если, соответственно, равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единицы, т.е. a = c, b = d.

z = a + bi = 0 тогда и только тогда, когда a = 0 и b = 0, или, что тоже самое, когда a² + b² = 0.

Пример 1: Найдите действительные числа а и b из условия равенства двух комплексных чисел: - 2 + 5iа – 3ib = 9i + 2a – 4b.

Решение: Выделим в обеих частях равенства действительные и мнимые части данных комплексных чисел: - 2 + (5a – 3b)I = 2a – 4b + 9i

Используя правило равенства двух комплексных чисел, составим систему:

Решая данную систему, получим a = 3; b = 2.

Определение 3. Комплексные числа a + bi и a – bi называются комплексно – сопряжёнными.

Число, комплексно – сопряжённое числу z, обозначается через . Так, если z = a + bi, то .

Пример 2: Если z = - 2 + 4i, то .

Квадратное уравнение ах² + вх + с = 0, для которого дискриминант D = b² – 4ac < 0 (1), в множестве действительных чисел не имеет решения, т. К. корень из отрицательного числа не имеет действительного значения. Однако в множестве комплексных чисел такое уравнение имеет два комплексно – сопряжённых решения:

x_1,2 = , (2)

где – D = 4ac – b² > 0 (3), а поэтому есть некоторое действительное число.

Пример 3: Решите квадратное уравнение: 2х² – 6х + 9 = 0.

Решение: Используя формулы (2) и (3) находим корни уравнения: х_1,2 = =

Ответ: х₁ = 1,5( 1 + i); х₂ = 1,5( 1 – i ).

Действия над комплексными числами.

1. Правило сложения: Суммой двух комплексных чисел является комплексное число равное сумме их действительных частей и мнимых частей, т. е. если z₁ = a₁ +b₁i, z₂ = a₂ + b₂i, то z₁ + z₂ = (a_{1 +} a₂) + (b₁ + b₂)i (3)

Пример 4: ( 4 + 2i ) + (1 + 5i ) = ( 4 + 1 ) + ( 2 + 5 )I = 5 + 7i

В частности, если z = a + bi , , то z + = 2a. Следовательно, сумма комплексно – сопряжённых чисел есть действительное число.

2. Правило вычитания: Вычитание двух комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Разностью комплексных чисел является комплексное число, равное сумме разности его действительных частей и разности мнимых частей, т. е.

z₁ – z₂ = (a₁ - a₂ ) + (b₁ – b₂)i. (4)

Пример5: (3 + 5i) – (6 + 3i) = (3 – 6) + (5 – 3)i = - 3 + 2i

3. Правило умножения: Произведением двух комплексных чисел z₁ = a₁ +b₁i, z₂ = a₂ + b₂i является комплексное число z₁z₂ = (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i (5)

Пример 6: Найдите произведение комплексных чисел z₁ = (3 + 2i), z₂ = - 1 – i

Решение: Два комплексных числа можно умножать по правилу умножения многочленов при условии, что i² = - 1.

z₁z₂ = (3 + 2i)( - 1 – i) = - 3 – 3i – 2i – 2i² = - 3 – 5i – 2*( - 1) = - 1 – 5i

4. Правило деления: Частное от деления комплексного числа z₁ = a₁ +b₁i на комплексное число z₂ = a₂ + b₂i является комплексное число

(6)

Пример 7: Найдите частное от деления комплексного числа z₁ = на число z₂ = 2 + i. Решение: Частное от деления двух комплексных чисел, можно получить путём умножения числителя и знаменателя дроби на число, комплексно – сопряжённое знаменателю, т.е. = i

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Комплексное число z = a + bi можно изобразить на координатной плоскости точкой М(х;у), при этом действительные числа изображаются точками на оси абсцисс, которую называют действительной осью, а мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью. А также, произвольную точку М плоскости, не совпадающую с точкой О, можно задать двумя числами: r – длина отрезка ОМ и φ – углом, который образует отрезок ОМ с осью ОР в положительном направлении. Числа r и φ называются полярными координатами точки М. Совокупность точки О и оси ОР образуют полярную систему координат. О называется полюсом, а ОР – полярной осью.

Полярные координаты точек плоскости изменяются в следующих пределах:

0

У

у М(х;у)

r

φ

О х Р

Пусть на плоскости выбраны одновременно полярные и прямоугольные системы координат, то х = r y = r (4) , где r = = (5) - называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа и обозначается , а φ – аргументом комплексного числа и обозначается arg z (0 arg z <2π).

tgφ = (6)

Определение 4: Комплексное число z = χ + iy = r( называется тригонометрической формой комплексного числа.

Для числа z = 0 аргумент не определён.

Любое комплексное число z ≠ 0 имеет бесконечно много аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное 2π.

Определение 5: Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка – π < φ ≤ π называется главным значением аргумента.

Пример 8: Найдите модуль и главное значение аргумента комплексного числа z = - 5i.

Решение: z = - 5i = 0 – 5i, т.е. х = 0, у = - 5, то М(0;- 5), следовательно М находится на отрицательной полуоси Оу, значит φ = - . Используя формулу (5) найдем значение модуля = = 5.

Пример 9: Найдите все значения аргумента комплексного числа z = 1 – i.

Решение: х = 1, у = - 1. Используя формулу (6), находим tgφ = - 1, значит φ = - + 2πк, к Z.

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

1. Правило умножения: При умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули умножаются, а аргументы складываются, т. е. z₁ = r₁( z₁ = r₂(

z₁z₂ = r₁r₂( ). (7)

Пример 9: Дано z₁ = 2( ); z₂ = 3( ).

Найдите z₁z_2. Решение: Используя формулу (7), получим

z₁z₂ = 2* 3( = 6( ) = - 1

2. Правило деления: При делении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются, т. е. . z₁ = r₁( z₁ = r₂(

(8)

Пример 10: Дано z₁ = 3( ); z₂ = 2( ). Вычислить .

Решение: Используя формулу (8), получим = = 1,5( + i ) = 1.5( )) = - i) = - i

3. Правило: При возведении комплексного числа в степень n модуль этого числа возводится в степень n, а аргумент умножается на n, т. е.

(9)

r = 1, то = – формула Муавра (10)

Пример 11: Возведите в 6 –ю степень комплексное число .

Решение: Используя формулу (10), получим

=

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера.

Рассмотрим степень с комплексным показателем z = χ + iy, где e = 2,7182… – основание натурального логарифма, то = , т.е.

= (11)

Если х = 0, то получим соотношение, которое называется формулой Эйлера

= (12)

Показательная функция имеет период, равный 2πi, т. е. . При z = 0 получим соотношение .

Тригонометрическую форму комплексного числа z = r( можно записать виде: z = r , = r (13)

Эта запись называется показательной или экспоненциальной формой комплексного числа.

Для комплексных показателей справедливы основные правила действий с показателями:

1. Правило: При умножении чисел показатели складываются.

r₁ (14)

2. Правило: При делении чисел показатели вычитаются.

(15)

3. Правило: При возведении в степень показатели перемножаются.

(r )ⁿ = (16)

* (k = 0,1,2,…,n – 1) (17)

Формула Эйлера (12) устанавливает связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией. Заменим в этой формуле у на φ и на – φ, получим

= =

Складывая и вычитая эти равенства, получим:

(18)

(19)

Формулы (18) и (19), также называются формулами Эйлера. Они выражают тригонометрические функции через показательные.

Пример 11: Представьте в показательной форме комплексное число z = - 2 + 2 i.

Решение: Используя формулу (5), находим r = = 4. По формуле (13) найдём

= ; = . По формуле (18) и (19) вычислим значение = - и = , т.о. φ = -

Ответ: z = 4

У п р а ж н е н и я д л я с а м о п р о в е р к и:

1. Найдите модуль и главное значение аргумента комплексных чисел: а) z = 1 + i; б) z = 2 - 2i.

2. Решите квадратные уравнения: а) х² + х + 1 = 0; б) х² + 1 = 0

3. Даны два числа z₁ = 2 + 3i; z₂ = 1 – 2i. Найдите сумму и разность этих чисел.

4. Найдите х и у из уравнения: (1 + 2i)x + (3 – 5i)y = 1 – 3i.

5. Дано z₁ = z₂ = Найдите z₁z₂

6. Представьте в экспоненциальной форме комплексное число 2 + 2i.

7. Дано z₁ = 2e ^{– I}; z₂ = 0.5e^0.5i. Найдите: z₁z₂

Ответы:1.а) r = ; φ = . б) r = ; φ = - . 2. а) - ; б) . 3. 3 + I и 1 + 5i. 4. x = - ; y = . 5. ( ). 6. 2 . 7. e^{- 0.5i}.

Пределы.

Определение1: Число А называется пределом функции f(х) при х →а, если для любого число ε > 0 можно указать δ >0, что для любого х ≠ а, удовлетворяющему неравенству 0<|х – а |<δ, выполняется неравенство |f(х) – А |<ε. В этом случае пишут = А.

Определение 2: Функция f(х) называется бесконечно малой при х →а, если = 0

Пример1:

Определение 3: Функция f(х) называется бесконечно большой при х →а, если = ± ∞.

Пример2: .

Свойства бесконечно малой и бесконечно большой функций:

1. Если f(х) – бесконечно малая функция, то - бесконечно большая функция.

2. Если f(х) – бесконечно большая функция, то - бесконечно малая функция.

Теоремы о пределах.

Теорема 1: Если существуют пределы функций f(х) и g(х), то существует и предел их суммы, равный сумме пределов функций f(х) и g(х):

(f(х) + g(х))= + g(x).

Теорема 2: Если существуют пределы функций f(х) и g(х), то существует и предел их произведения, равный произведению пределов функций f(х) и g(х):

(f(х) * g(х))= f(x)*.

Теорема № 3: Если существуют пределы функций f(х) и g(х), предел функции g(х) отличный от 0, то существует и предел их отношения, равный отношению пределов функций f(х) и g(х):

Следствия.

Следствие 1: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Следствие 2: Предел степени равен степени пределов.

= ( )ⁿ.

Следствие 3: = с.

Вычисление пределов в точке.

1. Предел многочлена. Для вычисления пределов многочлена f(х) = р(х) = ах^п + вх^{п – 1} +… + с при х→а достаточно вместо переменной х подставить значение а, к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия.

Пример 3. Вычислить Решение: Применим Теорему 1

) = 49

2. Предел отношения двух многочленов

а) если g(a) ≠ 0, то можно применить теорему о пределе частного.

Пример 4: Вычислить = .

б) если g(a) = 0, то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда если f(а) = А ≠ 0, то = ∞.

Пример 5:

в) если g(a) = 0 и f(а) = 0, то имеем неопределённость вида . В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов g(х) и f(х) на множители или заменой у = х – а.

Пример 6:

Вычислить = ( ) = = = или, заменяя у = х – 2 т.е. х = у + 2 и учитывая, что у→0 при х→2, получаем

=

.

г) Если функция f(x) или g(x) содержит иррациональное выражение, в этом случае для вычисления предела, надо числитель и знаменатель умножить на выражение, сопряжённому корню.

Пример 7:

= = = = = = -

Если функция f(x) и g(x) содержит иррациональное выражение, в этом случае для вычисления предела, надо числитель и знаменатель умножить на выражение, сопряжённому корню числителя и знаменателя.

Пример 8:

Вычисление пределов в бесконечности.

д) Если функция f(х) = ахⁿ + bx^{n – 1} + … + c, то надо вынести за скобки хⁿ, т.о. f(x) = ахⁿ + bx^{n – 1} + … + c) = , тогда является бесконечно малой и стремится к 0.

Пример 9:

е) Если функция f(х) = , где P(x) и Q(x) – многочлены n – степени, то при х →∞ числитель и знаменатель – величины бесконечно большие, поэтому получаем неопределённость вида . Чтобы вычислить предел этой функции, надо числитель и знаменатель разделить на старшую степень знаменателя.

Пример 10: = - 0,6

Пример 11:

Пример 12:

Замечательные пределы.

I замечательный предел: ^х = е; , е = 2,7182818…

Пример 13: ^5х = ^2х/3*3/2*5 = ((1 + )^(3х/3))^15/2 =

( Заменим = у и учтём, что у→∞ при х→∞) = ((1 + )^у)^15/2 = е^15/2

II замечательный предел: : =1; ;

Пример 14: = (заменим 3х = у и учтём, что у→0 при х→0) = 3 = 3*1 = 3

Пример 15: = ( применим формулу ) = = = =

У п р а ж н е н и я д л я с а м о п р о в е р к и:

Вычислите:

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Ответы:1. 0; 2.2; 3.∞; 4.48; 5. 32; 6.1,5; 7.1; 8. ; 9.1; 10. .