1. Методы оптимизации

1. Общая задача линейного программирования

Линейное программирование (ЛП) - наука о нахождении экстремумов линейной функции, когда на нее накладываются линейные ограничения.

Постановка общей задачи ЛП. Под основной задачей ЛП понимают экстремизацию (max, min) линейной формы (функций цели) L(x) при ограничениях, являющихся уровнениями-равенствами.

Математическая формулировка в общей постановке основной задачи ЛП. Даны линейная функция

L(x)=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n →экстремум (1.1)

и система линейных ограничениях:

a₁₁x₁₁+a₁₂x₁₂+…+a_1nx_n=b₁

a ₂₁x₂₁+a₂₂x₂₂+…+a_2nx_n=b₂ (1.2) _…

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

x_j 0, j=1...n (1.3)

где - заданные постоянные величины.

Найти такие неотрицательные значения , которые удовлетворяют системе ограничений (1.2) и доставляют линейной функции (1.1) минимальное (максимальное) значение.

Как отмечалось ранее, в системе ограничений (1.2) все можно считать неотрицательными. Общая задача имеет несколько форм записи.

Различные формы записи.

Запись с помощью знаков суммы: L(x)= экстремум

при ограничениях: , i=1..m,

где

Запись в векторной форме:

При ограничениях:

(1.4)

скалярное произведение.

Запись в матричной форме:

AX=B,

A=

Определение 1. Вектор , удовлетворяющий условиям (1.2)-(1.3), называется планом или допустимым решением задачи ЛП.

Определение 2. План называется опорным, если векторы в разложении (1.4) являются линейно независимыми векторами.

Определение 3. Опорный план Х называется невырожденным, если он имеет m положительных компонентов, в противном случае называется вырожденным.

Определение 4. Оптимальным планом задачи (1.1)-(1.3) называется план, доставляющий минимальное (максимальное) значение целевой функции.

Выпуклые множества

Пусть на плоскости х₁Ох₂ заданы две точки: А₁ (х₁⁽¹⁾; х₂⁽¹⁾) и А₂ (х₁⁽²⁾; х₂⁽²⁾), определяющие прямолинейный направленный отрезок _. Найдем координаты произвольной внутренней точки А (х₁; х₂) данного отрезка через координаты его концов.

Векторы = (х₁- х₁⁽¹⁾; х₂- х₂⁽¹⁾) и = (х₁⁽²⁾- х₁⁽¹⁾; х₂⁽²⁾- х₂⁽¹⁾) параллельны и одинаково направлены, поэтому = t ( ), где 0 t 1, или х₁- х₁⁽¹⁾=t(х₁⁽²⁾- х₁⁽¹⁾), х₂- х₂⁽¹⁾= t(х₂⁽²⁾- х₂⁽¹⁾). Отсюда х₁=(1-t) х₁⁽¹⁾+ tх₁⁽²⁾, х₂ =(1-t) х₂⁽¹⁾ + t х₂⁽²⁾. Полагая 1- t₁= , t= получим

(1.5)

Учитывая, что в (1,5) координаты точки А являются суммами одноименных координат точек А₁ и А₂, умноженными соответственно на числа , окончательно получаем:

	(1.6)
	(1.7)

Точка А, для которой выполняются условия (1.6) и (1.7), называется выпуклой линейной комбинацией точек А₁ и А₂. При и точка А совпадает с концом отрезка А₁, при и с концом отрезка А₂. Таким образом, если t пробегает все значения от 0 до 1, то точка А описывает отрезок _. Точки А₁ и А₂ называются угловыми и крайними точками отрезка _.

Из определения линейной выпуклой комбинации точек очевидно, что угловая точка не может быть представлена как выпуклая линейная комбинация двух других точек отрезка. Соотношения (1.6) и (1.7) верны независимо от размерности пространства.

Пусть имеется n точек А₁, А₂,…,А_n. Точка А является их выпуклой линейной комбинацией, если выполняются условия

Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками содержит и их произвольную выпуклую линейную комбинацию.

Геометрическая интерпретация задач ЛП.

Рассмотрим задачу ЛП, система ограничений которой задана в виде неравенств.

Такой подход удобен, когда число неизвестных равно 2.

Пример: экстремум (1.5)

(1.6)

xj 0,j=1,2

(1.7)

Если система (1.6) совместна, то она должна иметь хотя бы один план. При этом каждое соотношение из (1.6) геометрически представляет собой полуплоскость. Общая часть всех полуплоскостей решений задачи (1.6)-(1.7), может оказаться точкой, отрезком, многоугольником ограниченным или неограниченной многоугольной плоскостью.

Геометрически задача ЛП представляет собой отыскание такой точки многогранника решений, координаты которой доставляют экстремум целевой функций, причем все точки многоугольника решений являются допустимыми решениями.

Свойства решений задач ЛП.

Теорема 1. Множество всех планов задачи ЛП выпукло.

Теорема 2. Линейная функция задачи ЛП достигает своего экстремального значения в угловой точке многогранника решений. Если целевая функция достигает экстремального значения более чем в 1 угловой точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

Теорема 3. Пусть имеем задачу (1.1)-(1.3). Если система векторов линейно независима и удовлетворяет соотношению (1.2) при выполнении (1.3), то вектор Х является угловой точкой многогранника решений.

Теорема 4. Если угловая точка многогранника решений, то векторы в разложении (1.4) являются линейно независимыми при x 0 с положительными компонентами [1].