Особенности скалярной оптимизации

Поскольку векторное решение не может быть доведено до однозначного решения без перехода к скалярному решению, рассмотрим скалярною оптимизацию системы.

Предположим, что известны:

требуется найти (задача внешнего проектирования) или (задача внутреннего проектирования – в интересах промышленности)

Обе эти задачи – задачи на поиск экстремума при выполнении условий .

Сосредоточимся на поиске условного минимума. Если никаких дополнительных условий нет, то поиск заданной целевой функции может быть осуществлён с помощью стандартных методов анализа, сводящийся к удовлетворению необходимых условий существования экстремума и достаточных условий существования .

Необходимое условие сводится к тому, что заданная на всём множестве X непрерывная функция имеет первую производную, равную нулю:

Для того, чтобы отобрать из этих точек необходимо, чтобы выполнялось достаточное условие. В случае с одной переменной – это положительность второй производной:

Для случая многих переменных имеем:

Если функция имеет сложный характер (множество ), то необходимо искать глобальный , то есть - .

Если заданы дополнительные условия, то поиск экстремума усложняется. Выполнение необходимого и достаточного условий существования экстремума не гарантирует нахождение поскольку может лежать на границе области определения. В этом случае для него вышеуказанные условия не работают.

Если ограничения задают области существования то физический смысл имеют только те значения которые соответствуют указанной области поэтому при анализе на экстремум следует проверять только те значения которые соответствуют области определения Минимальное значение может соответствовать некоторой граничной точке, лежащей на контуре области существования величин

Таким образом, задача поиска экстремума разбивается на две задачи:

• поиск значения на контуре;

• поиск внутри области существования

Среди решений обеих задач необходимо выбирать минимальное значение.

Вопрос №3.

С помощью векторного показателя качества (ПК) можно найти множество нехудших систем. Это множество не позволяет однозначно выбрать систему. Однозначное решение возможно при скалярной постановке задачи, то есть необходим переход от векторного ПК к скалярному. В одних случаях удаётся найти объективный путь перехода к скалярному ПК, в других случаях переход носит субъективный характер.

Объективный метод перехода к скалярному показателю качества

Пусть имеется система S, которая входит в состав системы более высокого порядка Ставится задача оптимизации системы S. Система S характеризуется некоторым векторным ПК:

Проектировщик находит систему строго допустимых характеристик:

В том случае, когда проектировщик затрудняется в выборе системы, он должен обратиться к системе более высокого порядка:

Может оказаться, что число ПК системы более высокого порядка намного меньше числа ПК системы более низкого порядка: .

Часто у системы более высокого порядка существует только один показатель качества, который имеет решающее значение:

Существует два варианта поиска . При первом варианте варьируются внешние характеристики и находится Такая задача называется задачей внешнего проектирования. Обычно не удаётся решить задачу варьирования без привлечения внутренних характеристик системы. Поэтому варьируются все внутренние характеристики. Эта задача – задача внутреннего проектирования.

задача внешнего проектирования;

задача внутреннего проектирования;

Иногда существуют явные физические соотношения, связывающие между собой частные показатели качества системы. Такая связь имеет явную форму и представляет собой: