3.3 Однородность пространства и закон сохранения импульса

Импульсом материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы этой точки на ее скорость

. (3.1)

Импульсом системы материальных точек или тел (далее – система) называется векторная величина, равная векторной сумме импульсов всех материальных точек, составляющих систему или произведению массы системы на скорость движения ее центра масс (V_c)

(3.2)

Однородность пространства (сдвиговая симметрия пространства) приводит к закону сохранения импульса: импульс замкнутой системы с течением времени не изменяется.

Поясним на простом примере, как однородность пространства приводит к закону сохранения импульса. Пусть материальная точка массой m движется под действием силы вдоль оси OX (одномерное движение). Движение частицы описывается уравнением:

. (3.3)

Если потенциал поля U(x) инвариантен относительно трансляций (т.е. не зависит от x), то . Интегрируя, получаем или p=const, т.е. закон сохранения импульса.

Замкнутой системой называется система, на которую не действуют внешние силы. Наименьшей замкнутой системой можно считать Солнечную систему в целом. Однако для решения большинства практических задач использовать Солнечную систему в целом нецелесообразно. Установлено, что в ряде случаев законом сохранения импульса можно пользоваться и для незамкнутых систем. Приведем примеры.

1. Импульс системы сохраняется, если векторная сумма внешних сил равна нулю.

2. Проекция импульса на некоторое направление сохраняется, если проекция векторной суммы внешних сил на это направление равна нулю.

3. Импульс системы сохраняется, если время действия внешних сил мало.

Закон сохранения импульса является фундаментальным законом природы, выполняющимся при любых взаимодействиях в мега-, макро- и микромире. Законом сохранения импульса объясняются, в частности, отдача пушки или ружья при выстреле (рисунок 6). Импульс системы пушка – ядро до выстрела равен нулю. Для того, чтобы суммарный импульс системы остался равным нулю после выстрела, импульс пушки должен быть равен по модулю и направлен в противоположную сторону импульсу ядра . Поэтому ядро летит в одну сторону, а пушка откатывается в другую. Отметим, что система пушка – ядро является незамкнутой. Однако, сумма сил притяжения к Земле и реакции опоры компенсируют друг друга; кроме того выстрел длится доли секунды.

Рисунок 6 – Отдача при выстреле

Законом сохранения импульса объясняются особенности распада ядер и элементарных частиц, взрывы звезд и многие другие явления.

3.4 Изотропность пространства и закон сохранения момента импульса

В механике моментом импульса материальной точки относительно некоторой точки О называется векторная величина

; . (3.4)

Здесь – радиус-вектор, определяющий положение материальной точки относительно точки О, – импульс материальной точки, α – угол между векторами и . Направление вектора момента импульса определяется по правилу правого винта (вектора и составляют правую тройку векторов).

Для системы материальных точек момент импульса равен векторной сумме моментов импульсов отдельных материальных точек системы или векторному произведению радиус-вектора центра масс системы на импульс ее центра масс

(3.5)

При вращательном движении все точки, составляющие тело, движутся по окружности. Момент импульса материальной точки массой m, движущейся равномерно со скоростью v по окружности радиуса R, равен

L=mvRsin90º=mvR. (3.6)

При этом момент импульса твердого тела L=Iω, где I – момент инерции тела, ω – его угловая скорость.

Момент инерции I является мерой инертности тела во вращательном движении. Для системы материальных точек момент инерции равен .

Изотропность пространства (осевая симметрия пространства) приводит к закону сохранения момента импульса: в замкнутых системах момент импульса сохраняется.

В предыдущем параграфе обсуждался вопрос о существовании замкнутых систем. Установлено, что в ряде случаев законом сохранения момента импульса можно пользоваться и для незамкнутых систем. Приведем примеры.

1. Если суммарный момент внешних сил равен нулю, то момент импульса системы сохраняется.

2. Если существует ось Z такая, что сумма проекций моментов внешних сил на эту ось равна нулю, то сохраняется проекция момента импульса системы на эту ось.

3. Момент импульса системы сохраняется, если время действия внешних сил мало.

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы, выполняющимся при любых взаимодействиях в мега-, макро- и микромире. Законом сохранения момента импульса объясняются, в частности, плоская форма галактик, орбитальное движение планет Солнечной системы (второй закон Кеплера), изменение угловой скорости вращения фигуриста при изменении положения его рук и т.д.

Многие элементарные частицы обладают внутренним моментом импульса (спином). Суммарный спин системы взаимодействующих частиц сохраняется при любых процессах слабого и сильного взаимодействий.