2. Статистические гипотезы о дисперсиях

Сравнение дисперсии с нормативом

На основе выборки объемом n получено значение статистической дисперсии

Задано нормативные значение . Подлежит проверке система гипотез: против .

Рекомендуемая статистика

имеет - распределение с . Проверка по общей схеме.

Пример

Н_о отклоняется

Сравнение двух дисперсий

Имеются две нормально распределенные совокупности с неизвестными дисперсиями . На основе выборок из этих совокупностей получены оценки , примем . Объемы выборок соответственно. Подлежит проверке система гипотез:

против .

Рекомендуемая статистика – статистика Фишера:

Для малых и средних выборок эта статистика подчинена F – распределению со степенями свободы , если , и , , если . Ее плотность имеет вид:

Пример

Н_о принимается

Оценивание свойств изделий по результатам испытаний.

1). Виды оценок параметров законов распределений и числовых характеристик случайных величин. Требования к точечным оценкам.

2). Методы получения точечных оценок

Виды оценок параметров законов распределений и числовых характеристик случайных величин. Требования к точечным оценкам.

Основным результатом любых испытаний являются опытные данные, характеризирующие какие-либо свойства объекта. В большинстве случаев показателями оценки этих свойств являются случайные величины. Исчерпывающей характеристикой любой случайной величины является, как известно, закон распределения вероятностей проявления ее возможных значений. В свою очередь, закон распределения, как правило, содержит некоторые постоянные величины, именуемые параметрами. В зависимости от числа параметров законы подразделяются на одно- и много- параметрические. Если параметры закона заранее неизвестны, то они подлежат определению по результатам испытаний.

Известно также, что кроме законов распределения случайные величины принято оценивать так называемыми числовыми характеристиками, под которыми подразумевают величины, характеризующие отдельные свойства случайных величин. Чаще всего на практике используются характеристики положения (математические ожидания, мода, медиана) и моменты различных порядков (дисперсия, асимметрия, эксцесс). Числовые характеристики, как и параметры законов, также подлежат определению по результатам испытаний.

Таким образом, оценивание свойств любого объекта связано с определением на основе опытных данных либо параметров законов распределения, либо числовых характеристик случайных величин.

Но число опытов всегда ограничено. Поэтому любое значение искомого параметра или характеристики всегда будет содержать элемент случайности, то есть является приближением.

Приближенное значение параметра закона распределения или числовой характеристики случайной величины, полученной на основе опытных данных, называется оценкой.

Примеры оценок числовых характеристик случайных величин Х:

Где – оценка математического ожидания m_x,

– оценка дисперсии

В общем случае оценку параметра при характеристике будем обозначать через .

Оценки подразделяются на точечные и интервальные.

Точечные оценки, как в приведенных примерах, однозначно определяют оцениваемый параметр или характеристику, в то время как интервальные определяют некоторый диапазон возможных значений неизвестной величины Интервальные оценки отличаются большей информативностью, нежели точечные.

К точечным оценкам предъявляются три основных требования: точечная оценка должна быть состоятельной, несмещенной и эффективной.

Состоятельность оценки означает ее сходимость по вероятности к величине при неограниченном возрастании числа опытов:

Несмещенность оценки предполагает отсутствие систематической ошибки при замене неизвестной величины на приближенную :

M [ ] =

В приведенных примерах:

M [ ] = m_x ;

M [ ] = .

Поэтому вместо надо использовать S² =

Тогда

Эффективность оценки означает, что выбранная оценка обладает наименьшей дисперсией по сравнению с другими возможными оценками:

Методы получения точечных оценок.

Различают аналитические и графические методы получения точечных оценок. Рассмотрим первую группу методов. Она включает в себя: метод моментов, метод квантилей и метод максимума правдоподобия.

Метод моментов

Сущность метода заключается в том, что теоретические моменты, зависящие от неизвестных параметров закона распределения, приравниваются к эмпирическим. Основанием для этого является то обстоятельство, что если число опытов достаточно велико, то опытные значения моментов близки к теоретическим:

Где – теоретическое значение начального момента k-ого порядка,

– эмпирическое значение начального момента k-ого порядка.

n – объем выборки,

m – число возможных значений дискретной случайной величины.

Пример. Случайная величина Х распределена по экспоненциальному закону с неизвестным параметром . Требуется на основе опытных данных найти оценку .

Решение:

Метод моментов рекомендуется использовать при n>30.

Метод квантилей

Сущность метода заключается в том, что неизвестные значения теоретической функции распределения приравнивается к известным эмпирическим значениям (частотам) для одной и той же квантили x*

Где - значение теоретической функции распределения для x=x* ;

- значение эмпирической функции распределения для x=x*,

- накопленная частота, соответствующая разряду, в котором находится x*

n*- число опытных данных (измерений), попавших в разряд, соответствующий x*.

Число таких уравнений должно быть равно числу неизвестных параметров в законе распределения.

Пример. В условиях предыдущего примера найти оценку , используя метод квантилей. Решение:

Полагаем , в силу чего :

Откуда

Метод квантилей более универсален относительно объема выборки, нежели метод моментов. Но оценки, получаемые с его помощью, обладают значительной дисперсией.

Метод максимума правдоподобия

Этот метод является общим способом определения оценок параметров закона распределения по выборке X_n = {x₁, ….,x_I, …., x_n}. Пусть имеем случайную величину X с плотностью распределения f(x,a), где a={a₁, ….,a_j, …., a_m} – вектор параметров. Вероятность получения на опыте выборки X_n на интервале x_i+ x_i:

Т.к. выборка X_n наблюдалась на опыте, то логично полагать P=P_max и, исходя из этого, искать неизвестные оценки . Для удобства практических расчетов зависимость для P преобразуют, а именно: вводят в рассмотрение так называемую функцию правдоподобия

Тогда искомые оценки можно определить из системы уравнений

Пример. В условиях предыдущего примера найти оценку , используя метод максимума правдоподобия. Решение:

Методы получения интервальных оценок

1). Понятие о доверительном интервале.

2). Интервальная оценка для МОЖ и дисперсии

3). Понятие о доверительном интервале.

В силу случайности точечной оценки “ ”всегда актуален вопрос о том, к каким ошибкам может привести практическое использование этой оценки, т.е. вопрос о ее точности и надежности.

Для ответа на этот вопрос в математической статистике пользуются так называемыми интервальными оценками, в основе которых лежат понятия доверительного интервала и доверительной вероятности.

Пусть для параметра «а» получена из опыта оценка « ». Мы хотим оценить ошибку от замены “ ” на “ ”. Для этого назначим некоторую достаточно большую вероятность (например ) такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным, и найдем такое значение “ ”, для которого

Вер ( … ..(8.1)

Тогда диапазон практических возможных значений ошибки, возникающий при замене «а» на « », будет ± . Большие по абсолютной величине ошибки будут проявляться только с малой вероятностью .

Зависимость (8.1) можно представить в виде:

Вер … ..(8.2)

Равенство (8.2) означает, что неизвестное значение параметра «а» с вероятностью попадает в интервал:

……(3)

Как видно, положение этого интервала на оси «а» является случайным, т.к. случаен его центр « »:

Случайна вообще и длина интервала “ ”, т.к. “ ” вычисляется, как правило, по опытным данным.

Поэтому правильнее толковать величину не как вероятность попадания точки «а» в интервал а как вероятность того, что случайный интервал накроет точку «а».

Вероятность называется доверительной вероятностью, а интервал – доверительным интервалом. Границы интервала и называются доверительными границами.

Доверительный интервал можно рассматривать как интервал значений неизвестного параметра «а», совместных с опытными данными и не противоречащих им. Действительно, если считать события с вероятностью практически невозможными, то те значения «а» для которых , нужно признать противоречащими опытным данным, а те, для которых , - совместимыми с ними.

Для нахождения доверительных границ можно использовать как точные, так и приближенные методы. Рассмотрим эту процедуру на примере точных методов применительно к интервалам для математического ожидания и дисперсии.

Интервальная оценка для МОЖ и дисперсии.

Пусть , т.е. имеем оценку для неизвестного математического ожидания случайной величины “x”. Как правило, дисперсия также неизвестна, так что вместо надо использовать .

Тогда :

Перейдем к правой части этого равенства от случайной величины к случайной величине T, распределенной по закону Стьюдента. Для этого умножим обе части неравенства, содержащегося в скобках, на положительную величину :

или

Теперь найдем такое число , для которого справедливо равенство:

Н_о: Вер ( ) =

т.к. функция – четная.

Следовательно:

,

откуда ,

полагая ,

находим .

Таким образом :

и

Пример

;	n =25
;

Вывод: Чем выше уровень доверительной вероятности, тем шире доверительный интервал!

Аналогичным образом можно определить доверительный интервал для дисперсии, если . Для этого достаточно воспользоваться V-статистикой, имеющей -распределение с ν = n-1 степенями свободы. Как известно, эта статистика имеет вид:

,

откуда

Как видно из рисунка, закон распределения статистики V в отличие от закона распределения статистики T не является симметричным. Поэтому возникает вопрос: как выбрать интервал , в который величина V= попадает с вероятностью ?

Условимся выбирать интервал так, чтобы вероятности выхода величины V за пределы интервала вправо и влево (заштрихованные площади на рисунке) были одинаковы и равны

.

Чтобы построить интервал с таким свойством надо воспользоваться таблицей, в которой приведены числа такие, что

.

Зафиксировав ν = n-1, находят по таблице два значения :

Одно , отвечающие вероятности , и другое , отвечающее вероятности . Очевидно, что интервал имеет своим левым, а - правым концом.

Теперь по интервалу найдем искомый интервал для неизвестной дисперсии с границами и , который накрывает точку D с вероятностью :

Для этого убедимся в равносильности неравенств:



,

Откуда:

и

Пример:

n =13 ν = 12

Если интегрировать слева направо: