Основные этапы проверки статистических гипотез

Номер этапа	Содержание
1	Формулировка системы рабочих гипотез Hₒ и H1
2	Выбор статистики Ѳ
3	Определение критических точек Ѳкр
4	Определение расчетного значения статистики Ѳр
5	Сравнение Ѳр с Ѳкр и принятие решения

Выбор статистики Ѳ зависит от условий, в которых формируется содержание основной гипотезы. Например, если основная гипотеза имеет вид при условии, что дисперсия известна, то следует выбрать Z - статистику. Если же дисперсия неизвестна, то надо выбрать T - статистику. Задача выбора облегчается, если имеются статистики, для которых рассчитаны кривые эффективности критерия. Тогда для заданной мощности критерия можно определить требуемый объем выборки.

Определение критических точек предполагает задание уровня значимости α и использование таблиц квантилей выбранной статистики. Последние представляют собою обращенные функции распределения где υ полагается равной α в случае левосторонней критической области, для правосторонней и для двусторонней. Самое полное собрание таких таблиц для различных статистик представлено в сборнике А.Н. Большева и Н.В. Смирнова "Таблицы математической статистики", издание третье, М., Наука, 1983, с.416

На последнем этапе основная гипотеза отклоняется, если (левосторонняя КО), (правосторонняя КО), или (двусторонняя КО).

Проверка статистических гипотез о законах распределения.

1). Постановка и особенности задачи.

2). Критерий Пирсона.

3). Понятие о критериях Колмогорова.

Постановка и особенности задачи.

А ктуальной для практики задачей является аппроксимация (выравнивание) эмпирических распределений теоретическими, свойства которых известны. Другой важной задачей является сопоставление двух эмпирических распределений, полученных при различных условиях испытаний. Следовательно, принятие решений о законах распределения связано с двумя типами основных гипотез:

или

где и F(x) – эмпирическое и теоретическое распределение соответсвенно.

и – эмпирические распределения, полученные при различных условиях испытаний.

М – оператор математического ожидания.

В целом проверка этих гипотез проводится в полном соответствии с ранее рассмотренной схемой. Однако процедуре проверки присущи некоторые особенности.

Первая из них касается выбора класса распределений, относительно которых формируются гипотезы. Этот выбор осуществляется на основе анализа структуры объекта испытаний, характера опытных данных и свойств отдельных теоретических распределений. Из числа непрерывных распределений важную роль играют нормальное распределение, гамма-распределение, бета-распределение и другие.

Нормальное распределение отражает процессы, протекающие под воздействием большого числа факторов, среди которых нет явно доминирующих. Случайная величина при этом изменяется на бесконечном интервале, т.е. .

Гамма распределение является основным для неотрицательных случайных величин, когда , характеризующих, например, промежутки времени между определенными событиями (в частности, отказами), когда поток этих событий является простейшим. Его частным случаем является экспоненциальное распределение.

Бета-распределение основное для случайных величин, изменяющихся на интервале, когда . Его частный случай – равномерное распределение.

Следует помнить, что одной и той же основной гипотезе может удовлетворять несколько теоретических распределений. Принятие Н₀ означает лишь то, что выбранное распределение не противоречит опытным данным. Продолжение испытаний может привести к опровержению сделанного заключения, причем для этого достаточно небольшого числа противоречащих Н₀ результатов, в то время как для её подтверждения необходим большой объем испытаний. Тем самым реализуется принцип асимметрии решений.

Таким образом, выбор теоретических распределений не является формализованной процедурой и во многом определяется опытом исследователя.

Вторая особенность заключается в том, что критическая область всегда является правосторонней в силу специфики используемых критериев, сущность которой заключается в следующем.

Для того, чтобы принять или опровергнуть гипотезу Н_0, используют некоторую величину U, характеризующую расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями. Величина U может быть выбрана различными способами. Например, в качестве U можно взять модуль разности , где

-эмпирическая вероятность на интервале (частоте),

-теоретическая вероятность на том же интервале:

=

Лучше взять сумму квадратов этих разностей с некоторыми «весами», т.е. положить:

U= ²

Где k – число интервалов или разрезов.

Коэффициенты («веса» разрезов) вводятся потому что в общем случае отклонения, относящиеся к различным разрезам, нельзя считать равноправными по значимости. Действительно, одно и то же по абсолютной величине отклонение , может быть мало значительным, если сама вероятность велика, и очень заметным, если мала.

Допустим, что величина U выбрана тем или иным способом. Очевидно, что это есть случайная величина. Закон её распределения зависит от закона распределения Х и числа опытов n. Допустим, что это закон (для U) нам известен. В результате серии опытов получено, что выбранная нами мера расхождения приняла некоторое значение u. Спрашивается, можно ли объяснить это случайными причинами или же это расхождение слишком велико и указывает на наличие существенной разности между и и, следовательно, на непригодность гипотезы Н₀? Для ответа на это вопрос предположим, что Н₀ верна, и вычислим в этом предположении вероятность того, что за счет случайных величин (n мало) мера U будет не меньше, чем наблюдаемое на опыте значение u, т.е. .

Если эта вероятность весьма мала, то гипотезу Н₀ следует отклонить как мало правдоподобную. Если же эта вероятность значительна, то следует признать, что Н₀ согласуется с опытом.

Очевидно, что ≈ Вер(Ө>Ө₂), что соответствует правосторонней критической области.

При этом, поскольку проверка гипотез о законах распределения проводится всегда при сравнительно больших n, то уровень значимости критерия полагают равным

α=0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Критерий Пирсона

Применительно к гипотезе первого типа, т.е. к гипотезе

используются критерии Пирсона, Колмогорова и Мизеса-Крамера-Смирнова (критерий ω²).

Рассмотрим статистику критерия Пирсона или -критерия. Пусть произведено n независимых опытов, в каждом из которых случайная величина X принята определённое значение. Результаты опытов свезены в k разрядов и оформлены в виде статического ряда:

Ji	x1;x2	x2;x3	…………	xi;xi+1	…………	xk;xk+1
			…………		…………

где J_i - i-тый интервал (разряд),

k-общее число интервалов,

m_i - число значений в i-том разряде(число измерений величины X, попавших в i-й разряд).

Величина R=Х_max-Х_min называется размахом выборки.

Зная F(x), можно найти теоретические вероятности попадания величины X в каждый из разрядов:

Пусть

Если , то

Это и есть статистика Пирсона.

Величина V имеет -распределение.

Распределением с ν степеней свободы называется распределение суммы квадратов ν независимых случайных величин, каждая из которых подчиняется нормальному закону с МОЖ=0 и =1. Плотность его имеет вид:

К= ;

Г(x)= (гамма-функция или интеграл Эйлера 2-го рода).

Критическое значение ₂= _кр табулировано и находится по уровню значимости α и числу степеней свободы ν= k-l-1, где l-количество связей, определённые числом оценок параметров, вычисленных по данным выборки. Так для нормального распределения l=2, если оба параметра m_x и рассчитываются по результатам испытаний. В данной задаче число независимых случайных величин равно числу частот , то есть числу разрядов. Число независимых условий (связей), накладываемых на частоты , равно 1, если мы требуем что бы (это требование накладывается всегда). Число «связей» возрастает до двух, если мы подбираем теоретическое распределение с тем условием, чтобы совпадали теоретические и статистическое средние, т.е. .

Наконец это число будет равно трём, если мы потребуем ещё совпадений теоретической и статистической дисперсии.

где статистически среднее на i-том интервале.

-общее статистическое среднее.

Гипотеза Н₀ отклоняется если

Критерий Пирсона используется при n≥100 (хотя бы n≥50)

Рекомендуемое число разрядов:

n	50	100	500	1000	10000
k	8	10	13	15	20

Длина интервала d=1,02 R/k

Для определения границ интервалов вычисляют:

В интервал включаются и те наблюдения, которые приходятся на левую границу т.е. m_i (d_i)

Понятие о критериях Колмогорова и Смирнова.

Кроме критерия Пирсона для оценки степени согласованности эмпирического и теоретического распределений на практике используется ряд других критериев, в частности, критерий Колмогорова. Статистика этого критерия имеет вид:



Как видно, в качестве меры расхождения принято наибольшее отклонение эмпирического распределения от теоретического, предсказываемого гипотезой. При неограниченном возрастании числа независимых испытаний n закон распределения статистически  имеет вид:

Функция распределения затабулирована (см.сборник таблиц Л.Н. Большева и Н.В. Смирнова- табл.6.1.Функция распределения Колмогорова). Задавшись уровнем значимости критерия  и памятуя о том, что критическая область является правосторонней, определяем по таблице критическое значение квантили:

Если , то гипотеза Н₀ отклоняется. Обычно = 0,2….0,3. Критерий Колмогорова отличается простотой вычислений, но необходимо помнить о том, что он применим только для оценки непрерывных распределений при n>40…50 и только, когда теоретическое распределение не содержит неизвестных параметров. Такие случаи сравнительно редко встречаются на практике. Обычно из теоретических соображений известен только общий вид функции F(x), а входящие в неё параметры определяются по выборочным данным. При использовании критерия Пирсона это обстоятельство учитывается соответствующим уменьшении числа степеней свободы распределения . Критерий Колмогорова такого согласования не предусматривает. Поэтому если его всё же применять в подобных случаях, то необходимо учитывать, что он будет давать заведомо завышенные значения , в силу чего можно принять как правдоподобную гипотезу, в действительности плохо согласующуюся с опытными данными. Достоинством критерия Колмогорова является то, что при его использовании не требуется предварительного разбиения выборочных данных на интервалы.

Наконец, критерий Колмогорова можно использовать и для проверки гипотез второго типа , если объёмы выборок n₁ и n₂, соответствующие эмпирическим распределениям и , достаточно велики. Статистика в этом случае имеет вид:

Для определения критической точки следует, как и прежде, воспользоваться табл.6.1 вышеуказанного сборника. Если же объёмы выборок невелики (n₁<20 и n₂<20), то для проверки однородности двух выборок используется критерий Смирнова и таблица 6.5а того же сборника.

Проверка статистических гипотез о числовых характеристиках случайных величин

1). Статистические гипотезы о средних.

2). Статистические гипотезы о дисперсиях.

Статистические гипотезы о средних

Различают два основных типа гипотез о средних: сравнение среднего со стандартом (нормативом) и сравнение средних нескольких (в простейшем случае двух) совокупностей.

Сравнение средней со стандартом. Пусть имеем выборку , полученную по результатам испытаний. На ее основе определено среднее:

Задано нормативное значение среднего – величина «а».

Подлежит проверке гипотеза:

при

Для случая большой выборки (n>30) и известной дисперсии величина подчинена нормальному распределению с параметрами:

Поэтому в качестве статистики целесообразно выбрать величину

Известно:

где

- интеграл вероятностей

1. Проверка гипотез о средних:

1.1 Сравнение средней с нормативом

1)

2)

3)

Для всех вариантов – два случая: известна и неизвестна, т.е. используется . В первом случае используется Z- статистика, во втором – T- статистика. Порядок нахождения критических точек:

Z- статистика

Двусторонняя КО

;

;

;

;

;

;

.

;

;

;

;

; .

:

Н_о принимается

Односторонняя КО

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

:

Н_о отклоняется

Вывод: Односторонний критерий является более жестким.

OKO: ;

ДКО: , .

T- статистика

В силу четности f(x) табулируется не F(t), а функция

Пример:

Для ДКО: ; ;

Для ЛКО: ;

Для ПКО: ;

Т.к.

Для сравнения:

- интеграл ошибок (erf(z)) или функция Лапласа

Ф(-z) = -Ф(z)

Ф

F(z) =

При альтернативе критическая область будет двусторонней:

Значение критических точек определяется из уравнений:

;

;

.

где есть функции Лапласа

;

.

При альтернативе критическая область будет правосторонней и точка определится из уравнения:

,

.

Соответственно для имеем левостороннюю область и

Пример

Но принята	Но отклоняется

Вывод: Односторонний критерий является более жестким, чем двусторонний.

Если дисперсия известна, то используют статистику

,

где - статистическая дисперсия:

Известно: , где v = n-1

Функция квавантилей для t–распределения рассчитана (затабулирована) на основе зависимости:

,

где

Поэтому:

и

Пример

v = 24

Но принимается

Но отклоняется

Сравнение средних двух совокупностей

Пусть имеются две выборки объемом соответственно. Предполагается, что они получены из одной и той же генеральной совокупности. В результате обработки опытных данных получены оценки средних и . Требуется проверить гипотезу . Решение зависит от имеющихся сведений о дисперсиях. Рассмотрим возможные варианты.

Первый вариант: дисперсии выборок известны и равны друг другу, а так же Рассмотрим разность . Это случайная величина. Определим ее МОЖ и дисперсию, полагая, что гипотеза верна:

Выберем в качестве статистики величину

; D[

Если верна, то M[ ], и D[ , т.е. и поэтому дальнейшая проверка ведется по общей схеме.

Второй вариант: выборки малы ( ), неизвестны, то можно полагать (есть основания) .

Тогда определяют общую (двух выборок) статистическую дисперсию

где – статистические дисперсии выборок.

На роль статистики принимают величину

которая подчиняется t- распределению с числом степеней свободы v= .

Дальнейшая проверка ведется по общей схеме.

Третий вариант: неизвестны и нет оснований полагать их равными, т.е. . Имеем проблему Беренса-Фишера.