1.2.4.2. Метод эквивалентных возмущений

Метод применим в том случае, когда нас интересуют только математическое ожидание оцениваемой характеристики и дисперсия .

К достоинствам метода относятся следующие:

• при числе случайных переменных менее 20-30 объем вычислительных работ существенно меньше по сравнению с предыдущим;

• возможность проследить влияние каждого фактора на случайные отклонения ;

• для задания при моделировании нет необходимости обращаться к специальным программам выработки случайных чисел.

К недостаткам метода следует отнести:

• невозможность получить законы распределения оцениваемых при моделировании характеристик,

• сложность оценки точности получаемых при моделировании характеристик.

Сущность метода кратко заключается в следующем. Не снижая общности полученных ниже результатов будем полагать , .

Будем полагать также, что существуют и известны моменты связи

, . (1.4)

Решения системы (1.1) в общем случае можно представить в виде

.

Предположим, что функция может быть разложена в ряд Маклорена по переменным . Ограничиваясь членом q – й степени и опуская остаточный член, получим

, (1.5)

.

Подставим в выражение для некоторые частные значения параметров и проведем разложение функции по этим параметрам. Аналогично (1.5) получим

. (1.6)

Величины называются эквивалентными возмущениями. Выберем различных комбинаций эквивалентных возмущений

и подставим их в уравнение (1.6). Получим уравнений вида (1.5). Умножая обе части этих уравнений на некоторые, пока что неопределенные коэффициенты и суммируя полученные уравнения почленно, найдем

.(1.7)

Математическое ожидание от (1.5) равно

. (1.8)

С

(1.9)

(1.10)

равнивая уравнения (1.7) и (1.8) можно сделать вывод, что если

.

Выбирая в качестве величин и какое-либо действительное решение этой системы, получим

. (1.11)

Величины можно вычислить путем решения исходной системы (1.1.) при подстановке в эту систему соответствующих эквивалентных возмущений вместо случайных переменных .

Аналогично можно показать, что

. (1.12)

Точность полученных таким методом вероятностных характеристик зависит от вида уравнений (1.1) и степени аппроксимирующего полинома .

При q = 2 система уравнений (1.9), (1.10) запишется в виде:

(1.13)

; (1.14)

; (1.15)

. (1.16)

Число различных , при которых эта система уравнений имеет действительное решение, в общем случае определяется по формуле

Специальным выбором можно добиться обращения в ноль многих коэффициентов и существенно сократить число решений системы (1.1).

Предлагается, например, представить величины в соответствии с таблицей 1.1. [ 2 ]

Таблица 1

s
	1	2	3	. . .	k – 2	k – 1	k
1		0	0	. . .	0	0	0
2	0		0	. . .	0	0	0
. . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
k – 1	0	0	0	. . .	0		0
k	0	0	0	. . .	0	0
k + 1				. . .
k + 2	-	-	-	. . .	-	-	-

Примечание. Если т.е. , то в таблице 1.1. вместо нулей необходимо записать , а вместо записать + , вместо - записать – . В этом случае число решений системы (1.1) и первые два уравнения (1.13), (1.14) приводятся к виду

; (1.17)

. (1.18)

Суммируя все уравнений (1.18), найдем

,

или учитывая, что , получим

. (1.19)

Уравнения (1.15), (1.16) в соответствии с таблицей 1.1 приводятся к виду:

; (1.20)

. (1.21)

Отсюда имеем

. (1.22)

Из системы уравнений

найдем

. (1.23)

Подставив эти значения в уравнение (1.18), получим

. (1.24)

Подставив значение в (1.22), получим

. (1.25)

Таким образом, если в системе уравнений (1.1) содержится некоррелированных переменных имеющих одинаковые законы распределения с известными математическими ожиданиями и среднеквадратическими отклонениями , то необходимо провести решения этой системы при подстановке в нее вместо случайных переменных эквивалентных возмущений, определенных по формуле (1.25), в соответствии с таблицей 1.1. В результате этих решений будет получено значения оцениваемых характеристик боеприпаса.

Имея эти значения , учитывая значения известных теперь коэффициентов из формул (1.23), (1.24) и используя уравнения (1.11), (1.12), можно вычислить математическое ожидание и дисперсию по формулам:

; (1.26)

. (1.27)

При кубической аппроксимации функции т.е. при величины предлагается выбирать в соответствии с таблицей 1.2 [ 2 ].

Таблица 1.2

s
	1	2	3	. . .	k - 1	k
1		0	0	. . .	0	0
2	-	0	0	. . .	0	0
3	0		0	. . .	0	0
4	0	-	0	. . .	0	0
. . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2k - 1	0	0	0	. . .	0
2k	0	0	0	. . .	0	-

В рассматриваемом случае к системе уравнений (1.13) – (1.16) добавятся уравнения вида

. (1.28)

В соответствии с таблицей 1.2 будем иметь

; (1.29)

, при ; (1.30)

, при . (1.31)

На основании равенства (1.30) заключаем, что все уравнения (1.15) при данном выборе величин удовлетворяются. Уравнения (1.14), (1.16) и (1.28) приводятся к виду.

; (1.32)

. (1.33)

Выбирая все одинаковыми , удовлетворяем уравнениям (1.32), а из уравнений (1.13) и (1.33) получаем

; (1.34)

. (1.35)

Если подставить в систему уравнений (1.1) вместо случайных переменных эквивалентные возмущения или в соответствии с таблицей 1.2 и решить эту систему, то получим значений оцениваемой характеристики вида

(1.36)

Математическое ожидание вычисляется по формуле

. (1.37)

Дисперсия характеристики может быть определена по формуле

. (1.38)

Если в системе уравнений (1.1) содержится только одна случайная переменная то формулы (1.37), (1.38) принимают вид

;

,

т.е. математическое ожидание равно полусумме решений системы (1.1.), получающихся при подстановке вместо эквивалентных возмущений и – , а дисперсия равна квадрату полуразности этих решений.

При большом числе случайных переменных (больших значений ) может оказаться, что величины будут превосходить максимально возможные значения параметров . При этом ошибка уравнения (1.5), обусловленная отбрасыванием остаточного члена разложения, может оказаться недопустимо большой.

Однако можно легко получить формулы для определения математического ожидания и дисперсии характеристики , не требующие подстановки больших значений . Выберем , фигурирующие в таблице 1.2, пропорциональными соответствующим среднеквадратическим отклонениям :

, (1.39)

где – постоянный коэффициент, не зависящий от .

Можно получить для вычисления математического ожидания оцениваемой характеристики формулу [ 2 ]

, (1.40)

где определяются уравнениями (1.36), а При эта формула совпадает с (1.37).

Интерполяционный метод

В отличие от метода эквивалентных возмущений интерполяционный метод разработан также и для расчета функций распределения вероятностей оцениваемых характеристик [ ], т.е. обладает такой же универсальностью, что и метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло).

За счет оптимального выбора узлов интерполирования при одном и том же числе вариантов решений системы уравнений (1.1) интерполяционный метод дает более высокую точность, чем метод эквивалентных возмущений.

Имеются таблицы [ ] оптимальных чисел (числа Кристоффеля) и оптимальных вариантов узлов интерполирования (узлов Чебышева) для случайных величин, имеющих равномерный, нормальный или экспоненциальный законы распределения.

При практических расчетах необходимо преобразовать исходные случайные переменные к той или иной стандартной форме в зависимости от их законов распределения.

Если случайная величина имеет равномерный закон распределения в промежутке , то узлы типа Чебышева рассчитываются по формуле

, (1.41)

где – стандартные узлы Чебышева для равномерного закона в промежутке [–1, 1].

Если случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами и , то к стандартной форме она преобразуется по формуле

. (1.42)

Стандартная случайная величина имеет распределение с параметрами .

Случайная величина, имеющая экспоненциальное распределение с математическим ожиданием преобразуется к стандартной форме по формуле

. (1.43)

Математическое ожидание , дисперсия и интегральный закон распределения вычисляются по формулам:

, (1.44)

где ; ; … ;

- различные варианты значений, полученные путем приведения исходных случайных величин к стандартному виду;

; (1.45)

. (1.46)

Общее число интегрирований системы уравнений (1.1) равно

. (1.47)

Значения выбирают в соответствии с существующей зависимостью оцениваемой характеристики y от случайной переменной . Если эта зависимость близка к линейной, то = 1. При квадратической зависимости y от принимают = 2 и т.д.

Пример 1.1. Пусть оцениваемая характеристика y зависит от трех случайных переменных , распределенных по нормальному закону с параметрами соответственно . При этом также известно, что зависимость от квадратическая (т.е. = 2 ), а от и линейная (т.е. = = 1). Общее число решений исходной зависимости = 2.

Из таблиц [ ] находим значения оптимальных чисел Кристоффеля и стандартных узлов Чебышева ,

для : ; ; ; ;

для : ; ;

для : ; .

По формуле приведения (1.42) получим

; ;

; .

По формуле (1.44) получим

.

По формуле (1.45) найдем

.