Метод уравнений Кирхгофа для расчета сложных цепей.

Сущность данного метода заключается в решении системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.

1. По первому закону Кирхгофа составляют уравнения для независимых узлов. Количество которых N–1.

2. По второму закону Кирхгофа составляют уравнения для независимых контуров.

3. Решая совместно систему уравнений, находят неизвестные токи.

П ример.

Примечание:

1. Если при решении уравнений ток в какой-либо ветви получится отрицательный, то действительный ток ветви направлен в противоположную сторону.

2. Если ток в ветви с ЭДС получается направленным противоположно направлению ЭДС, то данный источник работает в режиме потребления (баланс мощностей).

3. Если в схеме присутствуют источники тока, то:

а) при составлении уравнений по первому закону Кирхгофа токи этих источников учитываются как обычные;

б) при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа контуры, проходящие через источники тока, не учитываются.

Метод контурных токов.

Сущность метода в решении системы уравнений составленных по второму закону Кирхгофа для независимых контуров относительно контурных токов.

Д ействительные токи в ветвях общих для нескольких контуров находятся как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов.

Дано: E₁, E₂, E₃, R₁, R₂, R₃, R₄, R₅.

Определить токи в ветвях.

В схеме два независимых контура. Составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа. Направление контурных токов выбираем произвольно. При составлении уравнений учитываем, что по средней ветви протекает смежный ток равный разности контурных токов.

Введем обозначения:

Тогда

Порядок записи последней системы уравнений позволяет записать систему уравнений для любого числа контуров.

где — собственное сопротивление K–го контура, равное сумме сопротивлений всех ветвей этого контура;

— общее сопротивление контуров K и M, равное сумме сопротивлений общей для контуров K и M ветви. Берется со знаком «+», если контурные токи протекают через него в одном направлении; или со знаком «–», если контурные токи протекают через него в разных направлениях;

— контурная ЭДС, равна алгебраической сумме ЭДС K–го контура. В эту сумму слагаемое входит со знаком «+», если направление ЭДС и контурного тока совпадают, в противном случае берется со знаком «–».

Решая систему уравнений относительно контурного тока, получим:

где — главный определитель системы;

— алгебраическое дополнение, получаемое из определителя системы путем вычеркивания K-го столбца и M-ой строки и умноженное на .

Токи в ветвях рассматриваемой схемы равны:

Примечание: Если в схеме присутствуют источники тока, то при расчете этим методом нужно заменить их источниками ЭДС.

П ример.

Дано: R₁=R₄=5 Ом;

R₃=R₅=2 Ом;

R₂=10 Ом; R₆=4 Ом;

R₇=1 Ом; Е₂=10 В;

Е₆=10 В; Е₇=8 В.

Найти токи в ветвях.

Выбираем условно положительное направление токов в ветвях и контурных токов. Записываем систему уравнений по методу контурных токов для трех независимых контуров.

Определяем собственные и взаимные сопротивления контуров.

Определяем контурные ЭДС.

Полученные значения подставляем в систему уравнений.

Решаем систему уравнений, находим контурные токи.

Находим действительные токи в ветвях.