1) Момент инерции цилиндра

Момент инерции однородного цилиндра, диска, полого цилиндра и т. п. вычислим относительно его геометрической оси. Любое из этих тел мы можем мысленно разбить на тонкие цилиндрические слои, частицы которых находятся на одинаковом расстоянии от оси. Разобьем цилиндр радиуса R_o на концентрические слои толщиной dR (рис.1.21). Пусть радиус какого-то слоя R; тогда масса частиц, заключенных в этом слое, равна

dm = 2RhdR,

где h – высота цилиндра;

 – плотность вещества цилиндра.

Все частицы слоя будут находиться на расстоянии R от оси, следовательно, момент инерции этого слоя (рис.1.21):

Рисунок 1.21

dI = dmR² = 2hR³dR

Представим, что весь цилиндр разбит на такие слои; тогда момент инерции всего цилиндра будет равен сумме бесконечно малых моментов или момент инерции всего цилиндра

(1.19)

Вспоминая, что масса цилиндра m = R_o²h, можно записать так:

(1.20)

Формула (1.20) выражает момент инерции сплошного однородного цилиндра .

Момент инерции полого цилиндра, имеющего внутренний радиус R₁, а внешний R₀ просто вычислить по формуле (1.19), нужно только в интеграле поставить другие пределы, а именно:

Замечая, что масса полого цилиндра равна , запишем момент инерции полого толстостенного цилиндра так:

(1.21)

Таким же простым путем можно вычислить момент инерции любого тела, которое можно разбить на совокупность полых цилиндров, колец, дисков.

2) Момент инерции стержня

Рассмотрим еще пример определения момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, но не являющейся осью симметрии. До сих пор мы вычисляли момент инерции относительно оси симметрии; вычисление же момента инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс, представляет более сложную задачу. Поэтому рассмотрим сначала самый простой пример: определим момент инерции тонкой палочки длиной l и массы m относительно оси, составляющей с направлением палочки угол  и проходящей через ее центр масс (рис.1.22).

Рисунок 1.22 О моменте инерции стержня

Обозначим через х расстояние от середины палочки какой-то частицы длиной dx. Масса частицы равна и находится она на расстоянии f от оси, f = xsin. Момент инерции равен

,

а момент инерции всей палочки

(1.22)

Очевидно, если палочка перпендикулярна к оси вращения , то

(1.23)

Здесь при вычислении момента инерции мы считали палочку очень тонкой, математически это значит, что диаметр сечения палочки имеет бесконечно малую величину, а при обычных приближенных вычислениях мы полагаем, что диаметр палочки ничтожно мал по сравнению с ее длиной.

Теорема Штейнера.

Выше было показано, что момент инерции тела зависит от массы тела и закона распределения этой массы в пространстве, т.е. формы тела. Зависит он также и от положения оси вращения в пространстве.

Если мы каким-либо способом определим момент инерции тела относительно некоторой оси, проходящей через центр масс (собственный момент инерции, обозначаемый I_o), то очень просто определить момент инерции относительно любой параллельной ей оси.

Если момент инерции относительно оси, проходящей через ЦИ, равен I_o, то момент инерции относительно оси, параллельной первичной и проходящей от неё на расстоянии «а», будет равен

I = I_o + ma²,

где I_o – собственный момент инерции,

m – масса тела,

а – расстояние между осями.

Это и есть теорема Гюйгенса-Штейнера, или просто теорема Штейнера.

Кинетическая энергия вращательного движения

Вращающееся тело, обладая движущейся массой имеет, естественно, определенный запас кинетической энергии.

O

Рисунок 1.23. К определению кинетической энергии

вращения.

r_i m_i

V_i

O`

Кинетической энергии тела слагается из суммы кинетических энергий отдельных частиц тела.

Кинетическая энергия частицы, находящейся на расстоянии “r” от оси (рис.1.23), равна

так как V_i = r_i.

Тогда кинетическая энергия всего тела будет равна

Выражение по виду близко к выражению, описывающему кинетическую энергию при поступательном движении.

Работа момента силы

Запас кинетической энергии вращательного движения тела создается за счет работы внешних сил, обеспечивающих движение. Найдем работу А, совершаемую моментом сил М при повороте тела на угол  (рис.1.24).

Элементарная работа силы при повороте на угол d равна

dA = FdS,

где dS – перемещение, длина дуги, равная dS = r d.

O

Рисунок 1.24 К определению работы момента силы

r d

F

O`

Следовательно,

F dA = rd, но Fr = М – момент сил, тогда dA = Md.

Работа за конечный промежуток времени t составит

Если величина момента силы остается неизменной (М=const), то просто

А = М.

Если же М = М(), то работа будет вычисляться интегрированием

Легко показать, что работа момента силы расходуется на прирост кинетической энергии вращения.

Действительно, умножим обе половины равенства на d = dt – на угол поворота тела за время dt.

В результате получим

А работа момента силы за время t будет равна:

Общий случай движения твердого тела

Если тело участвует одновременно в поступательном и вращательном движении (например, катящийся по горизонтальной поверхности диск, шар), то его кинетическая энергия складывается из двух компонентов – из кинетической энергии поступательного движения центра масс и из энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс

Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим теперь изолированную физическую систему – тело, вращающееся с постоянной угловой скоростью по инерции.

Запишем основной закон динамики вращательного движения

или

Поскольку система изолированная, то, как внешние силы, так и создаваемые ими механические моменты отсутствуют, т.е. М=0.

Тогда , следовательно,

.

В замкнутой физической системе момент импульса остается величиной постоянной. Это и есть закон сохранения момента импульса – один из фундаментальных законов физики.

Следует понимать, что постоянной величиной является все произведение, а каждая из величин I и могут взаимосвязано изменяться, т.е. если I₁₁ = I₂₂, то увеличение величины I – момента инерции системы - сопровождается уменьшением , и наоборот, – уменьшая величину I, можно увеличить .

Это используется при создании различных центробежных регуляторов и может быть проиллюстрировано рис.1.25.

Р исунок 1.25 Демонстрация на скамье Жуковского закона сохранения момента импульса: после разведения рук с гантелями момент инерции возрастает, угловая скорость уменьшается

Аналогичное объяснение находят такие движения как «фуэте» балерины, волчок фигуриста на коньках и т.п. Этим же законом объясняется гироскопический эффект.