1.1 Элементы кинематики поступательного и вращательного движения материальной точки

В физике, даже называя некий конкретный объект его собственным именем – автомобиль, электрон, поезд – мы все равно подразумеваем некоторую модель. Вообще в науке моделью называется абстрактная система, являющаяся упрощенной копией исследуемой реальной физической системы.

В разделе “механика” применяются две основные модели: материальная точка и абсолютно твердое тело.

Материальной точкой или частицей называется тело в тех случаях, когда изучается только поступательное движение тела как целого, при условии, что размеры, форма и другие его структурные свойства, а также протекающие в нем процессы в пределах точности измерений не влияют на движение тела.

При учете размера тела его можно принимать за материальную точку при соотношении величин r/h < 0,1%, где r – размер тела, а h – длина траектории его движения. Например, движение огромной Земли (диаметр > 12 тысяч км) вокруг Солнца можно рассматривать как движение материальной точки, т.к. расстояние Солнце – Земля достигает 150 миллионов км. В сравнении с Землей материальными точками являются огромные корабли и самолеты, да и каждый из нас – людей.

Когда рассматривается вращение тела вокруг какой-либо оси, проходящей через это тело, то применяют модель абсолютно твердого тела. Абсолютно твердым называется физическое тело в тех случаях, когда его отдельные части остаются неподвижными друг относительно друга.

Кинематика поступательного движения материальной точки

Движение материи интуитивно означает перемещение в пространстве и времени. Но понятие перемещения имеет определенное содержание только при указании, относительно каких именно тел перемещается рассматриваемый объект или материальная точка. В этом заключается фундаментальное свойство природы, состоящее в том, что всякое движение относительно.

В кинематике причины (силы), вызывающие движение, не рассматриваются. Основным понятием кинематики является понятие системы отсчета. Системой отсчета называется совокупность тел, по отношению к которым рассматривается движение, и прибора для отсчета времени (часов), неподвижного относительно тел отсчета.

Опытным фактом для человека является трехмерность мирового пространства и его эвклидовость на расстояниях, малых по сравнению с радиусом кривизны Вселенной (~ 10²⁶ м). Поэтому очень часто систему отсчета изображают трехмерной прямоугольной «декартовой» системой координат, оси которой жестко связаны с набором тел образующих совместно с неподвижными относительно них часами систему отсчета (такие часы обозначают как t в кружке, рис.2.1.). Начало координат О “привязывают” к телу отсчета, движущемуся или

неподвижному.

z t

0 х

y

Рисунок 1.1 Прямоугольная система координат с неподвижными относительно неё часами

В некоторых случаях более удобными являются системы координат цилиндрической или сферической симметрии. Тогда вместо набора (x,y,z) используются наборы (r,x,) или (r,,) – радиус, координату линейную или угловую. Путем математических преобразований пересчитать координаты точки в любую из этих систем координат.

Положение материальной точки в пространстве однозначно определяется 3-мя координатами (x,y,z) по отношению к системе отсчета с прямоугольной системой координат. Однако чаще положение частицы описывается радиус-вектором (рис. 1.2).

z

z _M t  M

O x

y x_M y_M

Рисунок 1.2 К определению понятия радиус-вектора

Радиус-вектором называется вектор, начинающийся в начале координат О и заканчивающийся в описываемой точке, проекции которого на оси координат системы отсчета равны координатам x,y,z.

Используется параметрическая форма записи

Число степеней свободы физической системы. Описать движение физической системы – значит в каждый момент времени указать положение всех её частей в пространстве по отношению к выбранной системе отсчета. Для этого необходимо задать некоторое количество параметров.

Минимальное число i параметров, задание которых полностью определяет положение физической системы в пространстве, называется ее числом степеней свободы.

Для одной частицы это, естественно, набор x,y,z ее координат (i=3).

Если система (тело) состоит из N частиц и все они могут перемещаться друг относительно друга во всех направлениях, то оно обладает 3N степенями свободы. Если на взаимное перемещение частиц наложены ограничения, называемые связями, то число степеней свободы будет уменьшаться.

Так, для определения в пространстве положения абсолютно твердого тела необходимо указать положения трех его частиц (точек), не лежащих на одной прямой. В силу жестких связей и недеформируемости положения всех остальных частей тела будут определены автоматически.

Характеристики движения – перемещение, траектория, путь. При движении точки радиус-вектор изменяется. Его изменения описываются функцией координат и времени

Траектория – линия, описываемая в пространстве концом радиус-вектора. На рисунке (1.3) траектория – линия 1-3-2.

Перемещение – вектор, соединяющий точки, соответствующие начальное и конечное положения точки. На рис.1.3 перемещение это вектор , связывающий точки 1 и 2.

Путь – это длина траектории, величина скалярная. На рис. 1.3 это длина кривой 1-3-2.

Отметим, что путь и перемещение совпадают лишь при поступательном прямолинейном движении.

Рисунок 1.3. Движение точки в пространстве

Скорость мгновенная и средняя.

Линейная скорость является величиной, характеризующей быстроту изменения положения тела в пространстве.

Мгновенная скорость – скорость точки в данный момент времени есть первая производная радиус-вектора по времени

Из свойств производной следует, что при криволинейной траектории в любой момент времени мгновенная скорость направлена по касательной к траектории.

Скорость может быть представлена через проекции вектора

Изменение проекций вектора скорости также можно вычислить:

Широко применяются понятия векторная средняя скорость и скалярная средняя путевая скорость <v>_пут.

есть вектор коллинеарный вектору Он показан как v_ср на рис.1.3.

,

где S – длина всего пройденного за время t пути.

Ускорение.

Ускорение есть мера изменения скорости во времени:

Естественно эту величину, так же как скорость, можно представить в виде проекций скорости и радиус-вектора:

Величина мгновенной скорости при равнопеременном движении может быть найдена из известного соотношения

V_t=V₀at.

В достаточно общем случае криволинейного движения на плоскости ускорение может иметь как проекцию в направлении движения – касательную а_, – так и перпендикулярную ей нормальную или центростремительную а_n составляющую (рис.1.4).

Рисунок 1.4 Ускорения при криволинейном движении

Тангенциальное ускорение есть проекция вектора полного ускорения на касательную к траектории, на направление вектора скорости и характеризует быстроту изменения величины скорости (её модуля). По величине сонаправлено с , при равноускоренном движении направлено так же, как и v, при равнозамедленном направлено противоположно .

Нормальное ускорение есть проекция полного ускорения на направление, перпендикулярное , характеризует быстроту изменения положения вектора в пространстве и по величине равно где R – радиус кривизны траектории в данной её точке.

Очевидно, что

Особо интересен случай движение тела в поле силы тяжести. В этом случае полное ускорение постоянно равно g – ускорению свободного падения, независимо от формы траектории.

Так, например, если тело брошено горизонтально с какой-то башни (рис.1.5), то легко по рисунку понять, что есть тангенциальное и нормальное ускорения и как они связаны с соответствующими проекциями . Естественно, если сопротивление воздуха не учитывается, то сохраняется величина горизонтальной составляющей скорости V₀=V_x, а вертикальная составляющая растет по закону V_y =gt.

х

y

Рисунок 1.5. Движение тела, брошенного горизонтально

Величина пройденного телом пути является важнейшей практической характеристикой, вычисление которой зависит от вида движения: равномерное, равнопеременное, неравномерное. На рис. 1.6 а,б,в представлены графики зависимостей V=V(t) для этих видов движения.

V=const V=V_o+at V=V(t) V_i

V V V _{ Si}

at₁ t_i

S V_o S S

O t₁ t₂ t O t₁ t O t₁ t₂ t

a) б) в)

Рис.1.6 Графики V=V(t) при равномерном (а), равнопеременном (б) и неравномерном движениях (в)

Поскольку путь представляет собой графически площадь фигуры под графиком зависимости V=V(t), то при равномерном движении (рисунок 1.6 а) путь, пройденный в интервале времени (t₂ - t₁) просто численно равен площади прямоугольника

S = Vt = V(t₂ –t₁).

При равноускоренном движении (рисунок 1.6 б) аналогично путь равен площади трапеции, которую можно определить двумя способами:

1. как сумму площадей прямоугольника и треугольника:

S = S_ + S_ = V_ot₁+;

2. по средней линии трапеции (выделена на рис.1.6.б красным цветом)

S = <V>t₁ =

Следует заметить, что приведенный способ определения средней скорости применим лишь при равнопеременном движении.

Если скорость в зависимости от времени изменяется каким-то сложным образом, зачастую не описываемым простыми функциями, то путь вычисляется как сумма, складывающаяся из элементов V_it_i (см. рис.1.6,в, выделено светло-зеленым цветом), в пределах каждого из которых скорость можно полагать постоянной

где N – число разбиений в интервале времени t₁ – t₂.

Если вид функции V(t) достаточно прост и интегрируем, то

.

Каноническое уравнение прямолинейного движения

В общем случае равнопеременного движения, воспользовавшись обозначением обобщенной координаты  (дзета), можно записать соотношение, называемое каноническим уравнением поступательного движения:

Из этого соотношения методом приравнивания коэффициентов канонического уравнения и численного уравнения. Описывающего конкретное движение, можно определить величины пути (S = _t -₀), начальной скорости V_o и ускорения a.

Кинематика вращательного движения материальной точки

При описании вращательного движения интересуются обычно не длиной пути и величинами линейной скорости и ускорения, а величинами углов поворота, угловой скорости (или частоты вращения), углового ускорения.

Для определения положения в пространстве вращающегося тела задают положение оси вращения, а величину угла поворота  обозначают «псевдовектором», направленным вдоль оси вращения по «правилу буравчика» – правого винта (рис.1.7)

Рисунок 1.7 К определению угла поворота

Для количественной характеристики быстроты вращения введена величина мгновенной угловой скорости или [c^-1]. Абсолютное значение вектора равно производной по времени от угла поворота

Средняя угловая скорость за время t равна

Очевидно, что векторы по направлению совпадают (рис. 1.8).

Рисунок 1.8 К определению направления вектора угловой скорости

При неравномерном вращении используется векторная величина углового ускорения или [c^-2], по величине равная

Угловая скорость при равнопеременном вращении можно найти из выражения, очень похожего для формулы прямолинейного равнопеременного движения

_t = ₀  t.

Среднюю угловую скорость при равнопеременном вращении можно найти из выражения, аналогичного выражению средней скорости при прямолинейном равнопеременном движении:

Таким образом, каноническое уравнение движения при вращении может быть представлено в виде:

Угловой путь  [рад] может быть найден из выражений, «симметричных» полученным при описании прямолинейного движения:

–  = t - равномерное вращение ( =const,  = 0);

– - равнопеременное вращение ( = _оt,  = const);

– - неравномерное вращение ( = (t) – функция, описывающая зависимость угловой скорости от времени.

Применение единицы СИ «радиан» далеко не всегда удобно при описании вращения. Широко применяются понятия частоты n Используются соотношения, связывающие  и n,  и N– число оборотов, совершенное точкой (телом):

 = 2n,  = 2N.

Связь угловых и линейных характеристик движения

Наличие таких связей можно совершенно естественно предположить. Действительно, связь угловой и линейной скоростей подчиняется векторному произведению, в котором присутствует еще и радиус-вектор , связывающий центр вращения с вращающейся точкой

Выполняются, естественно, и соотношения, связывающие угловые и линейные величины для ускорений:

a_n = ²r.

Направления всех этих векторов образуют правовинтовую тройку (рис.1.9).

Р исунок 1.9 Направления векторов , r, V.

Если тангенциальное ускорение равно нулю, то полное ускорение при вращении точки не равно нулю: a =R·ω² ≠ 0.