8.4.2. Обобщённый процесс Винера.

Обобщённый процесс Винера (generalized Wiener process) - это основной процесс Винера с добавлением тенденции. По отношению к стохастическим процессам термин тенден­ция используется для обозначения положительного или отрицательного тренда во временных рядах стохастической пе­ременной. Когда речь идет о финансовых активах, следует при­нять положительную тенденцию (positive drift), поскольку, как уже отмечалось, рисковые активы должны иметь положительный до­ход, чтобы компенсировать несение риска инвесторам. Таким образом, тенденция аналогична ожидаемому доходу.

Параметр тенденции представляет собой изменение S за малый промежуток времени . Если бы мы рассматривали толь­ко тенденцию, то приращение цены актива за малый промежуток времени было бы равно . Однако, объединив это с процес­сом Винера, мы получаем стохастический процесс случайной переменной, характеризующийся как скоростью тенденции, так и основными свойствами процесса Винера. Эта случайная пере­менная имеет ожидаемое изменение по следующим двум причинам: 1) ожидаемый доход за малый интервал времени со­ставляет ; 2) случайное изменение , которое было обсу­ждено при описании основного процесса Винера. Таким образом, малое из­менение в цене актива за малый временной интервал может быть смоделировано следующим стохастическим дифференциаль­ным уравнением (stochastic differential eguation):

(8.17).

Так как распределено нормальным образом, то средняя (математическое ожидание) равно , среднее квадратическое отклонение составляет , а дисперсия равна . Следова­тельно, становится дисперсией за единицу времени; параметр известен как волатильность.

Поэтому обобщенный процесс Винера включает основной процесс Винера наравне с элементом тенденции. Элемент тен­денции является детерминированным, т.е. неслучайным, а ос­новной процесс Винера представляет собой стохастический эле­мент.

Для того чтобы понять третью проблему, вспомним, что - это абсолютный доход за единицу времени, являющийся постоянным, но не зависимым от цены актива. Однако инвесторы нуждаются в процентной ставке доходности, зависящей от принимаемого риска, и следовательно, не зависящей от уровня цены актива. Поэтому если инвесторам нужна 12%-ная доходность по данному активу, они требуют эти 12% независимо от того, стоит актив 10 или 1000 рублей. Следовательно, желаемый стохастический процесс цен акти­вов должен включать абсолютный доход, который является функцией от цены актива, но ставка дохода не должна зависеть от цены актива.

Таким образом, для того чтобы удовлетворить этим требования к модели цен активов, необходимо обобщенный процесс Винера заменить на более общий тип стохастического процесса, известный как процесс Ито (Ito process), названный в честь японского ма­тематика Кийоши Ито, разработавшего теорию стохастических диффе­ренциальных уравнений во второй половине 40-х годов.

8.4.3. Процесс Ито.

Процесс Ито - это обобщенный процесс Винера, в котором параметры (ожидаемый доход) и (дисперсия) являются функциями от основных переменных. В общем виде процесс Ито выглядит как

(8.18).

Следо­вательно, если меняются основные переменные, меняется и аб­солютная скорость тенденции. Например, с увеличением S уве­личивается и , а с увеличением t увеличиваются и .

Для преобразования нашего процесса Винера в процесс Ито обозначим ожидаемую ставку доходности, выраженную в деся­тичной форме, как , тогда будет абсолютным доходом. Для малого промежутка времени ожидаемый абсолютный доход будет . Разделив обе части равенства на S, получим ставку доходности . Таким образом, мы имеем абсолютное изменение цены акти­ва , которое является функцией от цены актива (S) и став­ки доходности , которая не зависит от цены актива.

В общем же случае, как мы уже сказали, волатильность актива зависит от его цены, поэтому:

или (8.19).

Уравнения (8.19) являются процессами Ито. Если процесс Винера часто называ­ется, броуновским движением, то рассматриваемый нами процесс Ито иногда называется геометрическим броуновским движением. Выражение (8.19) используется для описания изменения в единицу времени многих экономических переменных: цен финансовых активов, ставок доходности, инфляции, и т.д., которые зависят от случайных факторов - «состояния экономики». В целом, выражение (8.19) отражает основное содержание финансового моделирования, так как содержит три ключевых понятия современных финансов - ожидае­мое значение, стандартное отклонение и фактор случайности. Впервые процессы Ито были использованы для построения финансовых моделей американским математиком и экономистом Робертом Мертоном. Уравнение (8.19) как модель движения рыночных цен является матема­тической формулировкой гипотезы об информационной эффективно­сти рынка ценных бумаг, так как тот факт, что последующие измене­ния случайной переменной не зависят от предыдущей траектории, вы­ражает основное содержание гипотезы случайного шага, которая яв­ляется необходимым и достаточным условием эффективности.

На рисунке 8.6 изображен процесса Ито. Как уже отмечалось, степень неопределенности будет независима от цены актива, абсолютный доход будет тем боль­ше, чем выше цена актива. Поэтому фактическая разбросанность ожидаемых цен активов будет зависеть от величины текущей ие­ны актива. В результате среднее квадратическое отклонение аб­солютного изменения будет тем больше, чем выше цена актива.

Рис. 8.6. Процесс Ито.

Первое слагаемое уравнения (8.19) является фиксированным приростом цены актива, т.е. не стоха­стическим. Второй элемент (стохастическая компонента) является причиной случайных колебаний всей функции. Кроме того, так как выбирается из стандартного нормального распреде­ления, также нормально распределена со средним значением и средним квадратическим отклонением .

Очень важным для построения экономических моделей является следующий результат, получивший название Лемма Ито. Если некоторая случайная переменная Z является функцией п процессов Ито

,

где - процессы Ито, то (аргументы функций пропущены для упрощения записи), то прираще­ние процесса Z можно представить в виде:

(8.20),

причем произведения рассчитываются с помощью мультипли­кативных правил Ито: , , , , где -коэффициент корреляции между и .

Если Z зависит от одного процесса Ито: , то

(8.21).

Подставляя в (8.21) выражение и используя мультипли­кативные правила Ито, получим

(8.22).

Процессы Ито и Лемма Ито используются во многих экономических и финансовых приложениях: динамических моделях оптимального инвестирования, непрерывных моделях оценки капитальных активов, моделях оценки опционов и других производных финансовых инструмен­тов, и т.д.

Рассмотрим пример. Пусть уровень инфляции в стране описывается процессом Ито

(8.23),

где - уровень цен в момент времени t, - винеровский процесс. Первое слагаемое характеризует ожидаемую инфляцию ( - ожидаемый темп прироста цен), второе (случайное) - неожиданная инфляция. Номинальная доходность (процентный прирост стоимости), например, облигации за промежуток времени выражается соотношением

(8.24),

где r - процентная ставка, - стоимость облигации в момент t. Ре­альная (с поправкой на уровень цен) стоимость облигации определяется как

(8.25),

то есть реальная стоимость облигации является функцией двух процес­сов Ито (8.23) и (8.24) (номинальной доходности и текущего уровня цен): .

Таким образом, чтобы получить закон, по которому определяется реальная доходность (процентный прирост реальной стоимости в еди­ницу времени), мы можем воспользоваться Леммой Ито (выражение (8.20)):

(8.26).

Подставляя в (8.26) выражения для и , рассчитав все производные, которые включены в правую часть уравнения (8.26) и воспользовавшись мультипликативными правилами Ито, окончательно получим закон изменения реальной доходности облигации

(8.27).

Пример. Всем экономистам хорошо известно уравнение обмена между денежной и товарной массами (уравнение И.Фишера): , где М – денежная масса (агрегат М2), V – скорость денежного обращения, P – уровень цен в стране, Q - объем производства в реальном секторе экономики. Допустим, что скорость денежного обращения не изменяется с течением времени, т.е. (как и предполагают монетаристы), а уровень цен в стране и объем производства являются процессами Ито:

(8.28),

(8.29).

Следовательно, денежная масса является функцией от двух процессов Ито:

(8.30).

Найти приращение денежной массы в стране за единицу времени. Расчеты выполнить самостоятельно!

290