8.3. Марковский случайный процесс.

Допущения о пуассоновском характере потока заявок и о показательном распределении времени обслуживания позволяют применить в теории массового обслуживания аппарат так называемых марковских случайных процессов. Процесс, протекающий в экономической системе, называется марковским (или процессом без последействия), если для каждого мо­мента времени вероятность любого состояния системы в бу­дущем зависит только от состояния системы в настоящий момент времени и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.

Рассмотрим элементарный пример марковского случайного про­цесса. По оси абсцисс ОХ случайным образом перемещается точка X. В момент времени t = 0 точка X находятся в начале координат (х = 0) и остается там в течение одной секунды. Через секунду бросается монета; если выпал герб - точка Х перемешается на одну единицу длины вправо, если цифра - влево. Через секунду снова бросается монета и производится такое же случайное перемещение и т.д. Процесс изменения положения точки (или, как говорят, «блуждания») представляет собой случайный процесс с дискретным временем (t = 0, 1, 2, …) и счетным множеством состоянии х = 0; 1; (- 1); 2; (-2). Схема возможных переходов для этого процесса показана на рис. 8.4.

Х-1

Рис. 8.4. Одна из разновидностей марковского процесса.

Покажем, что этот процесс - марковский. Действительно, пред­ставим себе, что в какой-то момент времени система находится, например, в состоянии Х1 - на одну единицу правее начала коорди­нат. Возможные положения точки через единицу времени будут Х0 и Х2 с вероятностями 1/2 и 1/2; через две единицы – Х-1, Х1, Х3 с вероятностями 1/4, 1/2, 1/4 и так далее. Очевидно, что эти вероятности зависят только от того, где находится точка в данный момент, и совершенно не зависят от того, как она пришла туда.

Вообще показательное распределение играет особую роль в теории марковских случайных процессов с непрерывным временем. Легко убе­диться, что в стационарном марковском процессе время, в течение которого система остается в каком-либо состоянии, распределено всегда по показательному закону (с параметром, зависящим, вообще говоря, от этого состояния).

8.4. Стохастические процессы на фондовом рынке.

Стохастический процесс - это процесс, описывающий измене­ния в одной или нескольких переменных, когда эти изменения ха­рактеризуются неопределенностью. В особенности эти процессы применимы к анализу будущих изменений цен фондовых активов, так как эти изменения действительно неопределенны на эффективном рынке. Теория случайных процессов является одним из наиболее мощных и широко используемых инструментов анализа финансовых рынков. Слу­чайные процессы, как правило, являются наиболее адекватной моделью, описывающей динамику экономических переменных фондового рынка.

Интересно, что рынок ценных бумаг был практически первой областью, где математическая теория случайных процессов была использована для описания явлений реальной жизни: хотя первую математическую фор­мулировку теории случайных процессов связывают с работой Эйнштей­на 1905 г., еще за пять лет до этого, в своей работе 1900-го года «Теория спекуляции» французский математик Луи Бакелье сформули­ровал теорию колебания цен на акции, основанную на случайных про­цессах.

В финансах существуют две большие группы стохастических процессов: процессы дискретного време­ни и процессы непре­рывного времени. В этой лекции рассмотрим непрерывные стохастические процессы. Обсудим в начале особенности поведения рыночных цен активов на фондовых рынках. Цены активов не могут быть отрицательными, но могут быть бесконечно положительными. Этот эмпирический факт является базой для выдвижения предположения, что отношение цен ценных бумаг распределено логнормально и что непрерывно наращенный до­ход по ценным бумагам, т.е. ln(P1/P2) распределен нормально. Если наблюдения проводятся за индивидуальной случайной переменной, то, поскольку они происходят в отдельном промежутке времени, случайная переменная (доход по ценной бу­маге в нашем случае) может следовать случайному блужданию (random walk). Непрерывное во времени случайное блуждание назы­вается диффузионным процессом.

Существует группа случайных переменных, где смещение непосредственно зависит от предыдущего состояния данной переменной. Такие стохастические процессы предполагают, что только текущее состояние стохастической (случайной) пере­менной является важным в прогнозировании будущих значений этой переменной. Такие стохастические процессы известны как марковские процессы.

Согласно современной финансовой теории, известной как гипотеза эффективных рынков (efficient market hypothesis, ЕМН), цены ак­тивов отображают всю историческую информацию, касающуюся этого актива, и немедленную реакцию на поступающую новую информацию по этому активу. Эта ответная реакция проявляется в виде изменения цены. Если рынки немедленно реагируют на новую информацию и каждая часть новой инфор­мации независима от предыдущей, то изменения в ценах активов будут следовать марковскому процессу.

Хотя история движения случайной переменной на протяже­нии некоторого времени не требуется для прогнозирования бу­дущих движений, статистические характеристики прошлых дви­жений могут быть полезны в прогнозировании распределения вероятностей будущих движений. Например, средняя величина и волатильность прошлых движений могут быть полезны в прогнози­ровании будущих движений в вероятностном смысле.

Фондовый рынок является эффективным в том смысле, что его участники практически мгновенно используют всю доступную инфор­мацию, на которую реагируют цены. Ожидания экономических агентов на эффективном рынке относительно рыночных цен, например, акций можно представить следующим образом:

(8.11),

где М – оператор математического ожидания, а - информация, доступная производителям на мо­мент времени , когда они формируют свои ожидания.

Для рациональных ожиданий, поскольку новое значение цен принци­пиально непредсказуемо на эффективном рынке, наилучшим или наиболее точным приближением к истинным рыночным ценам акций на момент t будет значение в момент (t-1):

(8.12),

где - случайная некоррелированная ошибка предсказания, имеющая нулевую среднюю и конечную дисперсию.

Из данного уравнения следует, что фактические цены колеблются вокруг своего рационального предсказания с чисто случайной ошибкой, имеющей нулевую среднюю и конечную дисперсию. Такая зависимость между предсказанием и фактическим уровнем цен существует, по определению, на эффективном рынке, где цены абсолютно подвижны, постоянно уравновешивая спрос и предложение. Это возможно, если цены полностью реагируют на поступающую информацию, которая практически мгновенно доступна всем участникам рынка. Последние, следовательно, лишены возможности использовать свои временные информационные преимущества в целях извлечения арбитражной прибыли.

Гипотеза эффективного рынка, адекватна поведению инвесторов на фондовых площадках многих стран, хотя в рамках экономической науки исследуются и другие гипотезы. В отношении фрагментированного, с асимметрично распределенной информа­цией, значительными временными лагами и ограничениями товарного рынка, и особенно рынка труда, уверенность в адекватности гипотезы эффективного рынка ценных бумаг не столь велика и подвергается сомнению многими экономистами.

Существует целое семейство марковских процессов: основной процесс Винера, обобщенный процесс Винера и процесс Ито.