8.4.1. Процесс Винера или броуновское движение.

Разновидность марковского процесса, которая используется как отправная точка для определения стохастических процессов цен активов, это основной процесс Винера (basic Wiener process), или броуновское движение (Brownian motion), названный в честь Норберта Винера, впервые сформулировавшего строгую математическую теорию для данного вида случайных процессов. В данном случае на исследуемую переменную воздействует большое количество случайных независимых импульсов или воздействий со стороны других переменных. Опишем процесс движения цен ак­тивов, который можно представить как результат сово­купного эффекта влияния многих независимых случайных импульсов, являющихся следствием получения новой информации.

Стандартный винеровский процесс - это одно­родный случайный процесс с независимыми приращениями, представ­ляющий собой случайную функцию , где w – процесс Винера, t – переменная времени, - элементарное событие из вероятностного пространства. Функция Винера удовлетворяет следующим условиям:

1. с вероятностью 1.

1. Случайные величины (приращения винеровского процесса) взаимонезависимы и распределены согласно нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной ( ).

2. Функция непрерывна по переменной t для всех .

Для того чтобы понять, каким образом процесс Винера соотно­сится с движением цен активов, мы начнем с объяснения основ­ного процесса Винера. Пусть S – рыночная цена фондового актива, а t - период времени. За малый промежуток времени случайная перемен­ная S изменится на . Если S следует процессу Винера, т.е. броуновскому движению, изменение S за малый промежуток времени будет связано с следующим соотношением:

(8.13),

где — получено на основе случайной выборки из нормально распределенной переменной со средней, равной нулю и сред­ним квадратическим отклонением, равным единице. В пределе это можно записать так:

(8.14).

Так как - нормально распределенная переменная, то и должна быть нормально распределена со средней, равной нулю, дисперсией и средним квадратическим отклонением .

Следовательно, по сути мы имеем переменную S, которая из­меняется случайным образом на величину , которая зависит от другой случайной переменной (эффект случайного получения новой информации на рынке).

Независимость переменных - важное свойство процесса Ви­нера. Это означает, что разные значения независимы и нормально распределены. Ес­ли дисперсия отдельной за промежуток времени равна , то дисперсия за более длин­ный промежуток времени будет .

Для того чтобы это понять, рассмотрим независимые наблю­дения за два очень малых, но следующих друг за другом временных периода и Так как наблюдения S независимы, дис­персия за общий промежуток времени будет равна сумме дисперсий за каждый короткий временной промежуток, т.е. (см. свойства дисперсии).

Таким образом, если случайная переменная следует процессу Винера, изменение за данный промежуток времени (Т= ) будет иметь среднюю (математическое ожидание, равное нулю), но дисперсию, равную Т, и среднее квадратическое от­клонение, равное . То есть изменение случайной переменной будет иметь математическое ожидание, равное нулю, и среднее квадратическое отклонение, равное квадратному корню из за­данного будущего временного периода.

Рис. 8.5. Броуновское движение.

На рисунке 8.5 изображен процесс Винера. Степень изменчивости уровня увеличивается с увеличением интервала времени. Однако, к сожалению, применить процесс Винера для описания сто­хастических процессов ценообразования активов на фондовом рынке в форме (8.13) нельзя. Применение основного процесса Винера на фондовом рынке невозможно по следующим трем причинам:

1. Активы характеризуются различными степенями волатильности. В процессе же, описанном выше, волатильность всех активов была одинаковой.

2. Рисковые активы имеют положительное ожидаемое среднее значение дохода. В процессе же (8.13) среднее значение предполагалось равным нулю, следовательно, в

м наковойов ынке ю, и () ()ество случайных независимых пе0000000000000000000000000000000000000000000000среднем будущая цена не будет отличаться от настоящей.

3. В процессе Винера предполагается, что абсолютные изменения в цене независимы от величины S. Однако в реально­сти это не совсем так. Абсолютное изменение цены более дорогого актива будет ожидаться в среднем большим, чем аб­солютное изменение более дешевого актива. Мы скорее бу­дем ожидать, что пропорциональные изменения в цене актива будут независимы от S; пропорциональные или про­центные изменения могут быть одинаковыми независимо от цены актива.

Для того чтобы устранить первую проблему необходимо учесть, что разные ценные бумаги характеризуют­ся разной степенью волатильности, поэтому влияние будет разным на ценные бумаги, что и отражено в их волатильности. Эта проблема легко решаема путем умножения на , что является годовым средним квадратическим отклонением . Следовательно, будет иметь среднее нулевое значение, а сред­нее квадратическое отклонение будет равно .

Таким образом, уравнение (8.13) принимает вид:

(8.15),

А в пределе оно будет выглядеть так:

(8.16).

Математическое ожидание равно нулю, среднее квадра­тическое отклонение - , а дисперсия - .

Вторая проблема возникает вследствие того, что математическое ожидание случайной переменной равно нулю и, следовательно, ожидаемое изменение значения S также равно нулю. Од­нако ожидаемый доход от рисковых активов, находящихся во владении инвесторов, в среднем должен быть положительным, чтобы вознаградить инвесторов за принятие на себя риска инвестирования. Поэтому необходимо адаптировать основной процесс Винера и привести его к обобщенному процессу Винера, чтобы учесть положительный ожидаемый доход фондовых активов.