Лекция 8. Марковские процессы.

8.1. Теория массового обслуживания.

В последнее время в самых различных областях практики, в том числе и на фондовом рынке, возникла необходимость решения своеобразных вероятностных задач, описывающих работу так называемых систем массового обслуживания. Примерами таких систем могут служить: брокерские конторы, телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы и т.п. Каждая такая система состоит из какого-то числа обслуживающих каналов и потока заявок. Заявки поступают одна за другой в некоторые случайные моменты времени. Обслуживание поступившей заявки от клиента, например, на покупку определенного количества акций продолжается какое-то время, после чего канал освобождается и снова готов для приема следующей заявки. Каждая система массового обслуживания, в зависимости от числа каналов и их производительности, обладает какой-то пропускной способностью, позволяющей ей справляться с потоком заявок. Задача теории массового обслуживания – установление зависимости между характером потока заявок, числом каналов и их производительностью.

Если бы заявки поступали регулярно, через точно определенные промежутки времени, и обслуживание каждой заявки тоже имело определенную длительность, расчет пропускной способности системы не представлял бы никакой сложности. На фондовом рынке моменты поступления заявок случайны, а также случайна и длительность выполнения этой заявки брокером. В связи с этим процесс работы системы протекает нерегулярно: заявки могут попадать в очередь или не приходить вовсе. Таким образом, процесс функционирования системы массового обслуживания представляет собой случайный процесс.

В качестве примера рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания, в которой заявка, заставшая канал занятым, не остается в очереди, а покидает систему. В данном случае это – дискретная система с непрерывным временем и двумя возможными состояниями: - канал свободен, - канал занят.

Рис. 8.1. Схема переходов из одного состояния в другое.

8.2. Поток событий.

Под потоком событий в теории массового обслуживания понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. События, образующие поток, могут быть различными, но мы будем рассматривать лишь поток однородных событий, различающихся только моментами появления. Такой поток можно изобразить как последовательность точек , , …, , … на числовой оси (рис. 8.2), соответствующих моментам появления событий.

Т

0 t

Рис. 8.2. Поток однородных событий.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Та­кой поток сравнительно редко встречается в реальных экономических системах, но представляет интерес как предельный случай. Типичным для системы массового обслуживания является случайный поток заявок.

Приведем некоторые определения свойствами случайного потока:

1. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной (рис. 8.2) зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где именно на оси 0t расположен этот участок.

2. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий прене­брежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Если поток событий обладает всеми тремя свойствами (т. е. ста­ционарен, ординарен и не имеет последействия), то он называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название «пуассоновский» связано с тем, что при соблюдении условий 1 - 3 число событий, попадающих на любой фиксированный интервал вре­мени, будет распределено по закону Пуассона.

Простейший поток играет в теории массового обслуживания осо­бенно важную роль. Во-первых, простейшие и близкие к простейшим потоки заявок часто встречаются на практике. Во-вторых, даже при потоке заявок, отличающемся от простейшего, часто можно получить удовлетворительные по точ­ности результаты, заменив поток любой структуры простейшим с той же плотностью. Поэтому рассмотрим подробнее свойства простейшего потока.

Рассмотрим на оси 0t простейший поток событий (рис. 8.2) как неограниченную последовательность случайных точек.

Выделим произвольный участок времени длиной . Как уже было отмечено, при условиях 1, 2 и 3 (стационарность, отсутствие последействия и ординарность) число точек, попадающих на участок , распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием

(8.1),

где - плотность потока (среднее число событий, приходящееся на единицу времени). Вероятность того, что за время произойдет ровно т событий, равна

(8.2).

В частности, вероятность того, что участок окажется пустым (не произой­дет ни одного события), будет равна

(8.3).

Важной характеристикой потока является закон распределения длины промежутка между соседними событиями. Рассмотрим случайную величину Т – промежуток времени между произвольными двумя соседними событиями в простейшем потоке (рис. 8.2.) и найдем ее функцию распределения:

(8.4).

Перейдем к вероятности противоположного события:

(8.5).

Это вероятность того, что на участке времени длиной t, начинающемся в момент , при появлении одного из событий потока не появится ни одного из последующих событий. Так как простейший поток не обладает последствием, то наличие в начале участка (в точке ) какого-то события никак не влияет на вероятность появления тех или иных событий в дальнейшем. Поэтому вероятность можно вычислить по формуле (8.3). Откуда:

(8.6).

Дифференцируя, найдем плотность распределения:

(8.7).

f(t)

t

Рис. 8.3. График плотности распределения показательного закона.

Закон распределения с плотностью (8.7) называется показательным законом, а величина - его параметром. График плотности f(t) представлен на рисунке 8.3.

Показательный закон играет большую роль в теории дискретных случайных процессов с непрерывным временем, поэтому вычислим его важнейшие характеристики. Математическое ожидание величины Т, распределенной по показательному закону равно:

(8.8)

или, интегрируя по частям,

(8.9).

Дисперсия величины Т равна:

(8.10).

Примем без доказательства одно замечательное свойство показательного закона. Оно состоит в следующем: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время , то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка: он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка Т. Можно доказать, что показательный закон – единственный, обладающий таким свойством. Это свойство показательного закона представляет собой другую формулировку для свойства «отсутствия последствия», которое является основным свойством простейшего потока.