§ 1.10 Принцип Архимеда.

Теорема. Для .

Доказательство:

1. Допустим, что утверждение теоремы неверно, а значит .

2. Рассмотрим два множества: и некоторое множество В, такое что .

Тогда , по допущению это значит, что множество , тогда справедливо неравенство: .

Согласно аксиоме полноты:

.

Рассмотрим некоторые комбинации чисел.

, такое что

(1)

кроме того (2)

Из (1) и (2) получаем противоречие, следовательно наше предположение неверно. Теорема верна.

§ 1.11 Абсолютная величина числа (модуль числа).

Для

Определение 1.

Доказательство: если

А)

Б)

Доказательство: по определению: , тогда

Поэтому

Если , если .

Доказательство: по определению:

.

Согласно свойству (3): .

Замечание: для

Доказательство: ,но тогда

(*)

(**)

Из (*) и (**) и

Замечание: для

А)

Б)

Имеют место .

Доказать самостоятельно.

§ 1.12 Теорема о существовании целой части числа.

Теорема. Для .

Доказательство: рассмотрим . Согласно принципу Архимеда .

Рассмотрим подмножество и множество А: .

1. если х – целое число, то , т.е. выполнено условие, такое что .

2. если х не принадлежит целым числам, тогда, если . Если , тогда сравним два числа и после числа найдём само это число р, и это число будет таким, что .

Определение 1. Целое число р, удовлетворяющее условию вышеприведённой теоремы, называется целой частью числа и обозначим .

Определение 2. Множество называется ограниченным снизу, если для , где называется нижней гранью множества А..

Определение 3. Множество называется ограниченным сверху, если для , где - верхняя грань множества А.

Определение 4. Множество называется ограниченным, если оно ограничено и снизу и сверху, т.е. .

Замечание: в записи

А) - следует понимать, что для любых х, принадлежащих множеству А, имеет место выполнение условия (предложения) .

Б) следует понимать, что утверждение является определением .

Определение 5. (с лат. наивысший) – точная высшая грань множества А.

По определению следует:

Если - наименьшая из всех верхних граней, эквивалентным определением к данному будет следующее:

Определение 6. (с лат. низший) – точная нижняя грань множества А.

- наибольшая из всех нижних граней.

Или эквивалентное определение:

Теорема Вейерштрасса: Любое ограниченное сверху (снизу) множество обладает точной верхней (нижней) гранью, или для .

Введём следующие обозначения и названия для числовых множеств ( отрезков).

Определение 7.

содержит свой минимальный элемент и максимальный элемент .

Определение 8. - интервал. .

I не имеет максимального и минимального элемента.

Определение 9.

полуинтервалы .

Определение 10. Интервалы, отрезки, полуинтервалы будем называть числовыми промежутками. Эти промежутки – ограниченные множества.

В математике также рассматриваются бесконечные промежутки. Употребляемые в их записи символы:

По определению

Оба эти промежутка ограничены снизу.

- ограничены сверху

Любой интервал I, который содержит фиксированную точку , называется окрестность этой точки.

- эпсилон-окрестность в точке , причём для справедливо следующее уравнение:

Обозначение окрестности(.) символом происходит от немецкого слова Ungebung-окрестность.