4. Принцип математической индукции.

1. Если предложение , в котором , истинно для и из того, что оно истинно для (где ), следует, что оно истинно и для следующего числа , то предложение истинно для -го .

2. Доказательство методом математической индукции состоит из двух частей, основанных на указанном выше принципе:

1. В первой части доказывают (проверяют) истинность высказывания .

2. Во второй части предполагают, что верно для и доказывают справедливость предложения для , т.е. что .

Если обе части доказательства проведены, то на основании принципа математической индукции можно заключить, что предложение истинно для .

Символически формулировка метода математической индукции записывается так:

, где .

Примеры доказательств методом математической индукции

Пример 1. Доказать, что при верно равенство

(1)

Доказательство:

Обозначим данное высказывание через , где , а сумму в левой части (1) через .

1. Высказывание истинно, т.к. при получаем верное равенство: .

2. Предположим, что верно для ; тогда: .

Докажем, что , т.е. . Имеем т.к. истинно , то на основании принципа мат. индукции заключаем, что формула (1) справедлива для .

Пример 2. Методом математической индукции доказать, что

Доказательство:

1. истинно, т.к. при получаем верное равенство: .

2. Предположим, что верно для ; тогда: . Докажем, что , т.е. , т.е. , т.к. истинно и , то на основании приципа математической индукции заключаем, что истинно для .

Замечание. Может случиться, что некоторые утверждения относительно натурального « » выполняются не при всех , а начиная с какого-либо другого значения ( ). В этом случае можно пользоваться следующим видоизменением принципа индукции:

Пусть о некотором утверждении относительно натурального числа известно:

1. Утверждение выполняется при ;

2. Каким бы ни было натуральное , из справедливости при вытекает, что справедливо и при , т.е. .

Тогда выполняется при натуральном .

Можно показать, что это предположение эквивалентно принципу (аксиоме) мат. индукции.

Тогда метод математической индукции имеет вид:

.

Пример 1.

Найти все для которых .

Решение: Имеем при

Однако при .

Докажем, что при выполняется неравенство: .

Для это установим, что при

( )

это неравенство эквивалентно неравенству , что справедливо при , и тем более при .

Допустим, что при некотором

( ).

Перемножаем формулы ( ) и ( ):

.

Ответ:

Пример 2.

Доказать неравенство Бернулли: , где , .

Доказательство:

1. При высказывание истинно: .

2. Нужно доказать, что при из предположения о справедливости неравенства: справедливость неравенства ( ). Докажем этот факт.

Если неравенство является верным, то при умножении обеих частей на , где , получим верное неравенство: , где , так как мы его отбросили и усилии неравенство.

Таким образом, при справедливо неравенство ( ) и поэтому неравенство является верным при .

Теперь покажем, как работает метод математической индукции при решении задач на прогрессии. Попутно приведем полезные сведения о самых прогрессиях: арифметической и геометрической.