Задачи на арифметическую прогрессию

Задача 1. В арифметической прогрессии дано: . Определить .

Решение:

Т.к. найти разность d можно было взяв и другие два элемента, возьмём такие, чтобы туда входил искомый элемент , т.е.

(т.к. .

Ответ:

Задача 2. Известно, что в арифметической прогрессии . Определить .

Решение:

.

Ответ: .

Задача 3. При какой зависимости между числами А, В, С они определяют собой члены одной и той же прогрессий.

Решение: запишем, что наши числа являются соответствующими числами арифметической прогрессии, получим систему

Исключим из этой системы и , т.к. они нам по условию задачи не нужны. Вычтем из первого равенство второе, а из второго – третье:

А теперь поделим четвертую формулу на пятую:

.

При таком соотношении между этими числами, они будут , соответственно , 5-м ,8-м, 20-м членами одной и той же арифметической прогрессии. Если задать конкретные значения любым двум из 3 чисел, то третье число примет вполне определённое значение. Таким образом, таких прогрессий может быть неограниченное число.

Задача 4. Могут ли числа быть членами одной и той же арифметической прогрессии.

Решение:

Предположим, что могут быть, тогда возможны 2 случая:

Соотношение , конечно, должно быть рациональным. Однако, хорошо видно, что дробь является числом иррациональным. Наше предположение, что числа образуют арифметическую прогрессию не имеют смысла. Они не могут быть членами одной и той же прогрессии

Задача 5 . Найти арифметической прогрессии, в которой

Решение: по условию имеем:

- ,

а отсюда следует , откуда .

Тогда и окончательно

Задача 6. В арифметической прогрессии Найти n.

Решение:

Отсюда: .

Тогда и . . Из равенства и находится значение .

Ответ:

Геометрическая прогрессия

Рекуррентная последовательность, у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии, носит название геометрической прогрессии. Условимся обозначать её -

_Таким образом, _{прогрессия является рекуррентной последовательностью, и её будем записывать так: .}

_{Из определения} член _{равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии ( ) в степени, показатель которой равен числу членов, предшествующих определяемому.}

_{Мы получили первую формулу , её можно принять за определение прогрессии, где . - знаменатель прогрессии,} . _{Если , то прогрессия называется возрастающей, если же , то называется убывающей. Значения - общий член прогрессии, где ( из рассмотрения исключается).}

1. _{Используя метод математической индукции, докажем формулу общего члена прогрессии. По определению запишем:}

_{Перемножаем все строчки: .}

_{А теперь разделив обе части равенства на произведение , имеем .}

_{Доказательство полученной формулы.}

1. При , получаем , т.е. Р(1) истинно.

2. Предположим, что истинно высказывание Р( ), т.е. .

3. Докажем, что в этом случае истинно и высказывание Р( ).

Имеем: , что и требовалось показать .

Итак, формула верна для .

2. Если все члены прогрессии положительны, то её член, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних членов, т.е. если , то .

В самом деле,

.

Иногда говорят: квадрат каждого члена прогрессии равен произведению двух равноудалённых от него членов этой прогрессии.

ч.т.д.

3. В каждой прогрессии произведение двух членов, равноотстоящих от концов, равно произведению крайних членов, т.е.:

Доказательство:

Произведение двух симметричных по отношению центра членов прогрессии есть величина постоянная для этой прогрессии, равная произведению крайних её членов.

4. Выведем формулу для знаменателя ( ) (подобно формуле разности арифметической прогрессии. Разделим друг на друга произвольных два члена прогрессии:

.

Отсюда искомое соотношение

,

т.е. знаменатель прогрессии равен частному -х её двух членов в степени единица, делённая на их номеров.

5. Выведем формулу для суммы « »- первых членов прогрессии.

Пусть дана прогрессия: , со знаменателем . Обозначим сумму первых « » членов через .

(добавим и отнимем по слагаемому )

Сгруппируем члены.

.

Если , ; Если , то рассмотрим выражение:

6. С помощью метода мат. индукции вывести формулу суммы « » членов прогрессии для .

.

Доказательство:

1. При имеем , т.е. Р(1) истинно.

2. Предположим, что высказывание Р( ) истинно, т.е. .

3. Покажем, что тогда истинно и высказывание Р( ). Имеем:

, т.к. , то

, т.е. Р( ) Р( )

Таким образом, Р( ) верно для -го . Формула доказана.

Замечание. Формулы и содержат пять различных величин: . Если три из них известны, то другие можно найти с помощью этих формул.

Следует иметь в виду, что отношения: - величина постоянная.