§ 1.5 Принцип математической индукции.

Пусть некоторое А является подмножеством , которое удовлетворят следующим условиям:

1. 

2. если , то , тогда А содержит все натуральные числа, т.е. .

Доказательство:

Предположим, что утверждение теоремы не имеет место, т.е. теорема . Рассмотрим дополнение множества А относительно множества , т.е. .

1. По условию , причём . По предположению , т.е. .

2. Если , кроме того , то тогда , а т.к. , т.е. , т.к. , где .

3. Пусть , согласно условию теоремы 2, тогда и - противоречие, т.е. наше предположение не верно, следовательно, , т.е. и т.д.

Пример: докажем, что имеет место равенство .

Доказательство: пусть . Заметим, что при , т.е. .

Если , то

в силу принципа математической индукции имеем, что , т.е. наша формула справедлива .

Так же предлагаем более доступный вариант объяснения Метода Математической индукции.

Понятие полной и неполной индукции. Метод математической индукции.

1. Индукцией называется метод рассуждений, ведущий от частных примеров к некоторому общему выводу (индукция – латинское слово Inductio, означающее «наведение»).

При доказательстве математических предложений различают неполную индукцию, полную индукцию и математическую индукцию.

2. Неполной индукцией называется метод рассуждений, при котором общий вывод делается на основе рассмотрения достаточно большого числа примеров, которые не охватывают всех возможных случаев.

Метод неполной индукции (нельзя признать методом строго доказательства) позволяет сформулировать гипотезу (гипотеза от греческого hypöthesis – основание, предположение), которую можно доказать или опровергнуть с помощью других методов доказательства.

3. Полной индукцией называется метод рассуждений, при котором общий вывод делается на основании разбора всех частных случаев.

Этот метод применим лишь для конечного числа случаев, причем он целесообразен для не слишком большого их числа.

Пример1:

Доказать, что при -х справедливо высказывание: .

Решение:

При доказательстве надо учитывать, что данное высказывание образованно с помощью логической операции «или» (меньше или равно), а такое высказывание истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний или .

Рассмотрим все возможные случаи:

1. Числа имеют одинаковые знаки, т.е. . И в том в другом случае для нахождения модуля суммы надо сложить модули слагаемых. Тогда высказывание справедливо, т.к. .

2. Числа имеют разные знаки, т.е. . В этом случае, чтобы найти модуль суммы, надо из большего модуля вычесть меньший. Пусть . Тогда ; т.к. числа положительны, то их разность меньше суммы; значит, и, следовательно, высказывание истинно.

3. Одно из чисел равно нулю.

Пусть , - любое действительное число, в том числе нуль. В этом случае ; следовательно , что доказывает справедливость данного утверждения.

Аналогично с помощью полной индукции доказывается теорема «площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту».

Таким образом, метод полной индукции приводит к общему выводу после рассмотрения каждого из конечного числа возможных случаев. Этот метод рассуждений вполне надёжен.