10.2. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Решение задач теплопроводности связано с определением поля тем­ператур и тепловых потоков. Для установления зависимости между величинами, характеризующими явление теплопроводности, восполь­зуемся методом математической физики, который рассматривает проте­кание физических процессов в произвольно выделенном из всего рассматриваемого пространства элементарном объеме и в течение беско­нечно малого промежутка времени. Это позволяет пренебречь изменением некото­рых величин и существенно упростить выкладки.

При выводе дифференциального урав­нения теплопроводности считаем, что те­ло однородно и изотропно (то есть физические свойства тела не зависят от выбранного в нём направления), физические параметры l, с (теплоемкость), и r (плотность) постоянны, внутренние источники теплоты равномерно распределены в теле. Под внутренними источниками теплоты понимаются тепловыделения, например, в тепловыделяющих элементах атомных реакторов, или при прохожде­нии тока в электрических проводниках. Внутренние источники теплоты характеризуются величиной q_v — ко­личеством теплоты, которое выделяется в единице объема в единицу времени.

В основу вывода положен закон сохранения энергии, согласно которому вся теплота, выделенная внутренними источниками dQ_вн и внесенная извне в элементарный объем путем теплопроводности dQ_m за время dt, идет на изменение внутренней энергии вещества, содержа­щегося в этом объеме:

(10.7)

Выделим в теле элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис. 10.2).

Рисунок 10.2– К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

Количество теплоты, которое проходит путем тепло­проводности внутрь выделенного объема в направлении оси Ох через элементарную площадку dy×dz за время dt:

(10. 8)

На противоположной грани параллелепипеда температура получит приращение и будет составлять Количество тепла, отведенного через эту грань:

Разница количества теплоты, подведенного к элементарному паралле­лепипеду и отведенного от него, представляет собой теплоту, внесен­ную путем теплопроводности в направлении оси Ох:

.

Аналогично:

;

Полное количество теплоты внесено в элементарный параллелепипед путем теплопроводности:

.

Здесь произведение dx×dy×dz представляет собой объем элементарного параллелепипеда dv. Количество теплоты, которое выделилось в эле­ментарном объеме за счет внутренних источников:

.

Приращение внутренней энергии можно выразить через массу параллелепипеда r×dv, теплоемкость с и приращение температуры :

.

Подставляя выражения для dQ_m, dQ_вн и dU в уравнение (107.), после соответствующих сокращений получаем:

(10.9)

Сумма вторых частных производных любой функции в математи­ческом анализе носит название оператора Лапласа и обозначается следующим образом:

.

Величину называют коэффициентом температуропроводности и обозначают буквой . В указанных обозначениях уравнение (10.9) примет вид:

. (10.10)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье и лежит в основе математической теории теплопроводности. Коэффициент температуропроводности является физическим параметром вещества. Из уравнения (10.10) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине .