СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………….5

1.Числа. множества и операции над ними.…………………………………….6

Семинар 1. Множества, операции над ними.

Прямое произведение множеств………………………………………………14

2. Векторы и операции над ними

Семинар 2. N-мерные векторы. Операции над ними. Свойства операций над векторами…………………………………..……………………………… 20

3. Матрицы и операции над ними……………………………………………..22

Семинар 2. Матрицы. Операции над матрицами…………………………..14

3. Определители и их свойства………………………………………………....16

3.1. Семинар 3. Определители квадратных матриц и их свойства………… 18

4. Решение систем линейных алгебраических уравнений………………….21

4.1. Метод Гаусса……………………………………………………….21

4.2. Метод Жордановых преобразований…………………………………….23

4.3. Обратная матрица……………………………………………………...….25

4.4. Семинар 4. Метод Гаусса. Метод Жордановых преобразований………...27

4.5. Семинар 5. Метод Крамера. Метод обратной матрицы………………28

4.6. Семинар 6. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по

системе векторов…………………………………………………………….30

5. Пределы и непрерывность………………………………………………………31

5.1. Семинар 8. Функции и пределы………………………………………..35

5.2. Семинар 9. Замечательные пределы и непрерывность функции………37

6. Производные и экстремумы…………………………………………………40

6.1. Производная сложной функции…………………………………………..40

6.2. Экстремумы функции одной переменной………………………………..42

6.3. Экстремумы функции двух переменных………………………………...43

6.4. Семинар 10. Производные. Экстремумы. ……………………………….44

6.5. Семинар 11. Экстремумы функции одной и двух переменных………...46

7. Интегрирование………………………………………………………………48

7.1.Методы вычисления неопределенного интеграла…………...…………..48

7.2. Определенный интеграл. Несобственый интеграл первого рода………53

7.3. Семинар 12. Табличные интегралы. Метод разложения……………….55

7.4. Семинар 13. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных

дробей. Интегрирование тригонометрических функций. Определенный

интеграл. Несобственные интегралы…………………………………….……59

8. Дифференциальные уравнения………………………………………………61

8.1. Семинар 14. Дифференциальные уравнения 1-го порядка……………..66

9. Ряды……………………………………………………………………………67

9.1. Семинар 15. Числовые ряды. Степенные ряды. Разложение функции в ряд Маклорена…………………………………………………………………70

Литература…………………………………………………………………….72

1. ЧИСЛА.

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Дано множество R действительных чисел. На нем введены операции сложения + и умножения .

φ : R R φ : R R

то есть множество R замкнуто относительно операций сложения и умножения.

Свойства операций сложения и умножения чисел:

1. (a + b) + c = a + b + c для любых а, b, c R

(а b) c = a (b c) = a b c

a + b = b + a

a b = b a

a (b + c) = a b + a c

существует единичный элемент по сложению:

обозначим его ε = 0 , такой что для любых а

а + 0 = 0 + а = а

для любого а существует обратный элемент по сложению,

обозначим его -а , назовем противоположным, такой что

а +(-а) = -а + а = 0

существует единичный элемент по умножению:

обозначим ε = 1 , так что для любых а

a 1 = 1 a = а

9. для любого а существует обратный элемент по умножению:

обозначим а , назовем обратным, так что

a а = а a = 1

Множество – это совокупность определенных различаемых объектов таких, что для любого объекта можно установить, принадлежит объект данному множеству или нет.

Далее будем рассматривать множества чисел.

Множества обычно обозначают прописными буквами, например, А. Если число принадлежит множеству, то будем говорить, что “оно является элементом множества”. Например, если а является элементом множества А, то это утверждение может быть записано следующим образом:

“ ”.

Утверждение “b не является элементом А” будем обозначать

“ ”.

Символ происходит от греческой буквы .

Пример:

- множество всех натуральных чисел: 1, 2, 3, . . . Обозначим N. Часто 0 считают натуральным числом. Множество N с добавлением 0 обозначается  .

- множество всех натуральных чисел, не превосходящих 100.

- множество всех решений уравнения (элементы множества - числа, являющиеся решением).

- множество всех чисел вида , где .

Множество А называется подмножеством множества В (обозначается ), если всякий элемент А является элементом В.

Говорят: В содержит А или покрывает А.

Множества А и В равны, если их элементы совпадают или если это два множества, имеющие одинаковые элементы.

Множества А и В равны, если и . Определение 2 указывает на наиболее типичный метод доказательства (сначала доказывается , затем обратное .

Пример:

Тригонометрическая теорема: :

а) всякое решение уравнения имеет вид ;

б) всякое число вида является решением уравнения sin x = 1 .

Если и , то А называется строгим подмножеством множества В (обозначается , - строгое включение).

Способы задания множеств

I. Перечисление (список элементов).

II. Порождающая процедура.

III. Разрешающая процедура (описание характеристических свойств, которыми должны обладать элементы).

I. Задание множества списком

 Списком можно задать лишь множества, содержащие несколько элементов. Задание типа

N = 1, 2, 3 . . .

не список, а условное обозначение, допустимое, когда оно заведомо не вызывает разногласий.

Пример:

Определим А как множество все целых чисел х строго между 6 и 10. Это можно записать следующим образом:

и прочитать как : “А - множество, содержащее 7, 8, 9”.

Множества часто рассматриваются как “неупорядоченные совокупности элементов”, хотя иногда полезно подчеркнуть, что, например,

.

II. Порождающая процедура

Описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. Тогда элементы множества - все объекты, которые могут быть получены (построены) с помощью такой процедуры.

Примеры: 1) Описание множества (множество всех чисел вида ), где исходные объекты для построения множества - натуральные числа, а порождающая процедура для вычисления описана формулой .

2) Множество

Порождающая процедура определяется двумя правилами:

а)  ; б) если , то .

Правила, описанные таким образом, называются индуктивными или рекурсивными.

III. Задание множества описанием его элементов (разрешающая процедура)

Примеры:

- множество всех натуральных чисел (N).

- множество всех решений уравнения .

- множество всех действительных чисел.

- множество всех чисел , где можно интерпретировать как описание свойства его элементов, заключающегося в возможности представить их в виде .

- заданное как “множество всех целых чисел, являющихся степенью двойки”, . Такой способ задания множества применяется, когда свойство элементов М может быть описано коротким выражением. Например, P(x) читается: «х обладает свойством Р», то М задается при помощи обозначения читается: «М - множество элементов х, обладающих свойством Р».

Примеры:

1)  .

2)  .

Требования к описанию свойств - точность и недвусмысленность.

Надежный способ точно описать свойства элементов данного множества - задание распознающей (разрешающей) процедуры, которая для любого объекта устанавливает, обладает он свойством или нет (т. е. является элементом множества или нет).

Пример: Для , то есть для свойства, быть степенью двойки разрешающей процедурой является любой метод разложения целых чисел на простые множители. Здесь разрешающая процедура не является порождающей. Но ее нетрудно таковой сделать: например, порождающая процедура может быть таковой. Берем последовательно все натуральные числа и каждые из них разлагаем на простые множители: те числа, которые не содержат множителей, отличных от двойки, включаем в .

Пустое множество (обозначается ) есть множество, обладающее свойством:

при любом х.

Другое множество, определение которого зависит от задачи, называют универсальным множеством.

Универсальное множество (обозначается U) есть множество всех рассматриваемых в данной задаче элементов.

Рассмотрим теперь множество . Оно имеет n элементов. Будем говорить, что мощность этого множества есть n.

Мощностью (длиной, размерностью) множества называется число элементов этого множества. Обозначим .

Далее любое множество В, которое имеет то же число элементов, что и А, имеет такую же мощность, и естественно, эти элементы не надо пересчитывать. Для небольших множеств достаточно легко пересчитать элементы, но для других множеств, например N, это может быть невозможно. Далее следует строгое, но неформальное определение количества элементов.

Говорят, что множество Х конечно, если или для некоторого существует множество такое, что оно имеет то же самое число элементов, что и X. Если и никакого n не может быть найдено, то Х называют бесконечным.