2.6.2. Непрерывные распределения
Равномерное (прямоугольное) распределение. Пусть плотность вероятности равна нулю всюду, кроме отрезка [α; β], на котором все значения случайной величины Х одинаково возможны. Напишем выражение плотности распределения вероятностей р(х). Для этого обозначим постоянную плотность на [α; β] через А=const , тогда
Так как площадь, ограниченная кривой распределения, (как площадь прямоугольника) равна единице:
А(β
– α) = 1 (рис. 2.14), то
,
и плотность распределения р(х)
примеет вид
(2.17)
Отрезок [α; β] называется отрезком концентрации равномерного распределения.
График плотности вероятностей равномерного распределения приведен на рис. 2.14.
Формула (2.17) и выражает закон равномерной плотности на отрезке [α; β]. Найдем функцию распределения F(х), учитывая, что
В зависимости от местоположения действительного числа х, рассмотрим 3 случая:
а)
Пусть
х<α
, тогда
.
б)
Если же
,
то
.
в)
При
получим
.
Рис.2.14 Рис.2.15
Итак, функция равномерного распределения задается формулой
и ее график изображен на рис. 2.15.
Определим основные числовые характеристики случайной величины Х , подчиненной закону равномерной плотности на промежутке от α до β . Математическое ожидание
В
силу симметричности равномерного
распределения медиана величины Х
равна
,
моды нет.
Дисперсия
откуда
среднее квадратическое отклонение
.
В силу симметричности распределения
его асимметрия равна нулю:
.
Равномерное распределение имеют случайные величины, характеризующие ошибки измерений при помощи инструмента с крупными делениями, когда значение округляется до ближайшего целого. Например, равномерное распределение имеет ошибка указания времени часами со скачущей стрелкой.
Пример 2.16. Перекресток оборудован автоматическим светофором, в котором зеленый и красный свет горит в течение 1 мин и 0,5 мин соответственно. Водитель подъезжает к перекрестку в случайный момент времени, не связанный с работой светофора. Найти вероятность того, что он проедет перекресток не останавливаясь.
Решение. Случайная величина Х, обозначающая момент проезда автомашины через перекресток, распределена равномерно в интервале, равном периоду смены цветов в светофоре, т.е. в интервале (0; 1,5). Тогда плотность распределения будет иметь вид:
Для того чтобы автолюбитель проехал перекресток не останавливаясь, нужно, чтобы момент проезда перекрестка пришелся на интервал времени (0; 1). Для случайной величины, распределенной равномерно в интервале (0; 1,5), вероятность того, что она примет значение из интервала (0; 1) вычислим по формуле:
.
Ответ:
вероятность
того, что водитель проедет перекресток
не останавливаясь, равна
.
Нормальное распределение. Закон нормального распределения получен в связи с разработкой теории ошибок наблюдения. Случайные ошибки измерений складываются из множества различных неконтролируемых причин: температурных колебаний, вибраций в окружающей среде, неточностью измерительной шкалы прибора и т. д. Если каждая из этих случайных причин
оказывает на результаты измерений незначительное влияние по сравнению с общим эффектом, то их сумма (случайная ошибка) подчинена закону, близкому к нормальному (для появления нормального распределения необходимо выполнение дополнительных условий). Например, рост большого числа лиц одного и же пола, национальности и возраста, размеры органов животных также подчиняются нормальному распределению.
Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида
(2.18)
Кривая
распределения – это кривая Гаусса,
которая имеет симметричный холмообразный
вид (рис. 2.16). Из формулы (2.18) следует, что
кривая у
= р(х)
достигает максимума
при х
= т. С
ростом
уменьшается,
а так как площадь, ограниченная всей
кривой и осью Ох,
равна
1, то с
увеличением
кривая как бы растягивается вдоль оси
Ох.
При уменьшении
кривая вытягивается вверх вдоль прямой
х = т, но
сжимается в горизонтальном направлении.
Если же зафиксировать
,
а изменять т,
то кривая будет смещаться в горизонтальном
направлении, сохраняя форму.
Следовательно, параметр характеризует форму кривой, а т – ее положение (рис. 2.17).
Найдем функцию распределения F(х) случайной величины Х, распределенной по нормальному закону:
Полученный интеграл нельзя выразить через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию
,
называемую нормальной функцией распределения (функцией Лапласа). Значения функции Ф* (х) приводятся в таблице (приложение 2).
Яcно,
что
.
Как и всякая функция распределения,
функция Ф*(х)
обладает свойствами:
1°. Ф*(х) – неубывающая функция.
2°. Ф*(х) – непрерывная слева.
3°.
Ф*(х)
– удовлетворяет условиям
,
.
Кроме того, Ф*(–х) = 1 – Ф*(х) .
Ее график изображен на рис. 2.18.
Рис. 2.18
Выясним смысл численных параметров т и , входящих в формулу плотности вероятности (2.18). Для этого найдем основные числовые характеристики нормально распределенной случайной величины Х. Математическое ожидание
так
как первое слагаемое равно нулю, а второй
интеграл
является интегралом Пуассона.
Вычислим дисперсию
Следовательно,
,
Т.е. параметр т
является математическим ожиданием, а
параметр
– средним квадратическим отклонением
величины Х.
Так как распределение случайной величины, подчиненной нормальному закону, симметрично относительно х=т, то все центральные моменты нечетного порядка равны нулю. Для центральных моментов четного порядка будем иметь:
Итак,
(1.19)
откуда
следуют соотношения:
и т. д.
Асимметрия
,
так как для нормального закона
.
Эксцесс
Это и естественно, так
как
эксцесс характеризует крутость
исследуемого закона распределения по
сравнению с нормальным.
Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, в заданный интервал. Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение. Требуется определить вероятность попадания случайной величины Х на интервал (α; β). Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой
Р(α<Х<β) =F(β) – F(α),
где F (х) – функция распределения. Но функция распределения F (х) случайной величины Х, подчиняющейся нормальному закону с параметрами т и , имеет вид:
,
где
Тогда
(2.20)
или
, (2.21)
где
– функция Лапласа. Заметим, что Ф(0)
= 0 ,
,
и Ф(–х)=
–Ф(х) .
Часто
на практике требуется вычислить
вероятность заданного отклонения Х
– М(Х),
т. е. вероятность неравенства
.
Вероятность отклонения вычисляют с
помощью формулы (2.20):
так как Ф*(-х) = 1-Ф*(х) или (2.21), применяя функцию Лапласа,
(2.22)
Из полученных формул следует, что чем меньше , т. е. чем меньше рассеивание значений случайной величины Х вокруг ее математического ожидания, тем больше увеличивается вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (– ; ).
Определим
далее, какой следует взять интервал с
центром в точке х
= т,
чтобы почти все значения случайной
величины принадлежали ему. Для этого
будем рассматривать последовательно
интервалы: (т–
;
т+
)
(т-2
;т+2
)
(
т
–3
;т+3
)
и т.д., и вычислять вероятности того, что
значения случайной величины
принадлежат
этим интервалам:
Как видно из вычислений, интервалом практически возможных значений случайной величины будет интервал (т –3 ;т+3 ), так как последующие вероятности увеличиваются незначительно. Это означает, что вероятность того, что абсолютная величина отклонений превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала. Таким образом, зная среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание случайной величины, ориентировочно можно указать интервал ее практически возможных значений. Это правило называется правилом трех сигм.
Пример 2.17. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически: средняя масса одной коробки – 1,06 кг. Известно, что только 5 % коробок имеют массу меньше 1 кг. Найти стандартное отклонение, предполагая, что масса коробок распределена нормально.
Решение. Пусть случайная величина Х – масса коробки с шоколадом. Из условия задачи следует, что случайная величина Х распределена нормально и что М(Х) = 1,06. Тогда стандартное отклонение найдем, используя равенство:
.
Так как только 5 % коробок имеют массу меньше 1 кг и, следовательно, масса остальных коробок больше 1 кг, то можно записать:
или
.
По
таблице, прил.2, находим
,
откуда
Ответ: среднее квадратическое отклонение массы коробок с шоколадом равно 0,0365 кг.
Пример
2.18.
На автоматическом токарном станке
изготавливаются болты, номинальная
длина которых 30 мм. Наблюдаются случайные
отклонения от этого размера, распределенные
по нормальному закону с математическим
ожиданием т
= 0 и средним
квадратическим отклонением 1мм. При
контроле бракуются все болты, размеры
которых отличаются от номинального
больше, чем на допуск
= 3,0 мм.
Найти вероятность того, что наудачу выбранный болт будет бракованный.
Решение. Рассмотрим случайную величину Х - отклонение размера болта от номинального. Она, согласно условию задачи, распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что отклонение размера наудачу выбранного болта будет превышать допуск, вычислим по формуле:
Ответ: вероятность того, что наудачу выбранный болт будет бракованный, равна 0,0028.
Пример 2.19. Случаяйная величина Х подчинена нормальному закону с математическим ожиданием т=0 и средним квадратическим отклонением . При каком значении вероятность ее попадания в интервал (2; 4) достигает максимума?
Решение. Случаяйная величина Х распределена нормально, поэтому вероятность попадания ее в интервал (2; 4) равна разности значений функции распределения на концах интервала. Применив формулу (2.20)
,
замечаем,
что вероятность
является функцией от
.
Дифференцируя по
вероятность попадания в интервал (2; 4)
и приравнивая ее к нулю, получаем:
,
откуда
и, окончательно,
.
Ответ:
вероятность
попадания случаяйной величины Х
в интервал (2; 4) достигает максимума при
Показательное (экспоненциальное) распределение. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается функцией плотности вероятности
где
>0
постоянна и называется параметром
экспоненциального распределения.
Примером непрерывной случайной величины,
распределенной по показательному
закону, может служить время между
появлениями двух последовательных
событий простейшего потока, где
- интенсивность потока. Найдем функцию
распределения
случайной
величины,
распределенной по
показательному закону.
Графики плотности вероятности экспоненциального распределения и функции этого распределения изображены соответственно на рис. 2.19 и 2.20.
Рис. 2.19 Рис. 2.20
Определим числовые характеристики случайной величины.
Математическое ожидание
.
Дисперсия
.
Среднее
квадратическое отклонение
и, следовательно, совпадает с математическим
ожиданием.
Экспоненциальный
закон распределения может применяться
в качестве одной из возможных математических
моделей в теории надежности. Параметр
в теории надежности называется
интенсивностью отказа элемента.
Пример
2.20.
При работе ЭВМ в случайные моменты
времени возникают неисправности. Время
Т
работы ЭВМ до первой неисправности
распределено по показательному закону
.
Пусть среднее число неисправностей за сутки работы ЭВМ равно 1,5. При возникновении неисправности тут же устраняются. Предположим, что ремонт продолжается 2,5 ч, после чего ЭВМ снова включается в работу.
Найти
вероятность того, что промежуток времени
между двумя, последовательными
неисправностями будет больше 5 ч.
Решение. Случайная величина Т - время между двумя последовательными неисправностями – распределена по показательному закону, плотность вероятностей для которой при условии, что ремонт продолжается 2,5 ч, имеет вид
Тогда функцией распределения случайной величины Т будет функция
Искомую вероятность того, что промежуток между двумя последовательными неисправностями будет больше 5ч при условии, что ремонт длится 2,5 ч, вычислим по формуле
,
откуда
.
Ответ: вероятность того, что промежуток времени между двумя, последовательными неисправностями будет больше 5 ч., равна 0,024.
Вопросы для самопроверки
1. Какой формулой выражается закон равномерной плотности на отрезке?
2. Как вычисляются функция распределения и числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины?
3. Какой формулой выражается нормальный закон распределения?
4. Что характеризуют
параметры
и
нормального закона распределения?
5. Каким свойствам
удовлетворяет нормальная функция
распределения
?
6. По какой формуле вычисляется вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный интервал?
7. Что характеризует правило трех сигм?
8. Какой функцией плотности вероятности описывается показательное (экспоненциальное) распределение?
9. С какой числовой характеристикой совпадает среднее квадратическое отклонение показательного закона распределения?
1 - знак окончания доказательства