2. Случайные величины

На начальных стадиях развития теории вероятностей появилась необходимость связывать различные случайные события с действительными числами и вести расчеты последних. Так, уже задача проведения испытаний, рассмотренная Я. Бернулли, требовала введения в рассмотрение числа появлений изучаемого события А при заданном числе испытаний. В результате возникло новое понятие – случайная величина (случайная переменная). Поэтому основное направление дальнейших исследований в теории вероятностей сместилось в сторону изучения и развития понятия случайной величины, ее функции распределения и связанных со случайной величиной закономерностей.

2.1. Определение случайной величины

Пусть при изготовлении болтов измеряют диаметр, номинальное значение которого 35 мм. Пространство элементарных событий в этом эксперименте состоит из множества болтов, т. е. , где элементарное событие – выбран некоторый болт. Событию А, состоящему в том, что выбран болт, диаметр которого находится в пределах поля допуска [34,995; 35,011], соответствует множество действительных чисел, расположенных между величинами 34,995 и 35,011. При этом, каждому элементарному событию , рассматриваемого эксперимента, ставится в соответствие определенное действительное число , зависящее от . Таким образом, можно говорить о числовой функции , описывающей результаты эксперимента и определенной на пространстве элементарных событий . Такие числовые функции называют случайными величинами и обозначают прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z , …, а их значения – строчными х, у, z, ... Однако не всякая функция элементарного события является случайной величиной. Чтобы функция элементарного события была случайной величиной, нужно, чтобы прообразом каждого множества из пространства ее значений было одно определенное событие из -алгебры . Функции , обладающие этим свойством, называются измеримыми относительно соответствующих -алгебр.

Определение 2.1. Пусть ( , , Р) - произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной Х называется измеримая функция , отображающая в множество действительных чисел R, т. е. функция, для которой прообраз любого борелевского множества есть множество из - алгебры .

Например, случайной величиной будет: а) число очков на выпавшей грани при бросании игральной кости; б) число выпадений герба при однократном подбрасывании монеты; в) расстояние от начала координат до случайно брошенной точки в квадрат . Все эти случайные величины являются измеримыми функциями. Их множества значений соответственно имеют вид:

.

Множество значений случайной величины Х будем обозначать , а образ элементарного события – х. Множество значений может быть конечным или несчетным.

Определим - алгебру на множестве . В общем случае -алгебра числового множества может быть образована применением конечного числа операций объединения, пересечения и дополнения интервалов или полуинтервалов вида , в которых одно из чисел х₁ или х₂ может быть равно или .

В частном случае, когда – дискретное (не более чем счетное) множество, - алгебру образуют любые подмножества множества , в том числе и одноточечные.

Таким образом, -алгебру множества можно построить из множеств или, или .

Будем называть событием А любое подмножество значений случайной величины X: . Прообраз этого события обозначим . Ясно, что .

Все множества А, которые могут быть получены как подмножества из множества , применением конечного числа операций объединения, пересечения и дополнения, образуют систему событий. Определив множество возможных значений случайной величины Х и выделив систему событий F_Х, построим измеримое пространство . Определим вероятность на подмножествах (событиях) А из таким образом, чтобы она была равна вероятности наступления события, являющегося его прообразом:

.

Тогда тройка ( _Х, , Р_Х), где – множество значений случайной величины Х; – -алгебра числового множества ; Р_Х – функция вероятности случайной величины Х, называется вероятностным пространством, образованным случайной величиной Х.

Если каждому событию поставлено в соответствие вероятность этого события , то говорят, что задано распределение случайной величины X. Функция задается на таких событиях (базовых), зная вероятности которых можно вычислить вероятность произвольного события . Такими событиями могут быть события {Х < х}.

Пример 2.1. Пусть на полуинтервале [0; 1) вещественной прямой случайным образом выбирается точка. Пространство элементарных событий данного эксперимента отождествляется с множеством точек полуинтервала [0; 1). -алгебру образуют непересекающиеся полуинтервалы вида , . Значение случайной величины Х равно координате точки из полуинтервала [0; 1): , [0; 1). Это измеримая функция. -алгебра совпадает с . Вероятность любого события , состоящего в том, что случайная точка попала левее числа определяется по формуле:

.

Вопросы для самопроверки

1. С какой целью вводится случайная величина?

2. Сформулируйте определение случайной величины.

3. Что является множеством значений случайной величины?

4. Какие множества образут алгебру ?

5. Как задается распределение вероятностей случайной величины?