4. Статистический способ задания вероятности.

При данном способе рассматривается случайный эксперимент, для которого построить пространство элементарных событий невозможно. Тогда эксперимент проводится N раз при неизменном комплексе условий протекания и подсчитывается число экспериментов М_А, в которых появилось некоторое событие А. Вероятность события оценивается относительной частотой (частостью) появления события А, т.е. вычисляется по формуле:

. (1.4)

Согласно закону больших чисел, относительная частота (частость) появления события сходится по вероятности к вероятности появления события в каждом эксперименте:

На практике, при вычислении вероятностей в классической схеме, при подсчете числа элементарных событий, принадлежащих пространству или некоторому событию, часто приходиться пользоваться формулами комбинаторики (соединений). Каждая из комбинаторных формул определяет общее число элементарных событий в некотором эксперименте, состоящем в выборе наудачу m элементов из п различных элементов исходного множества. Существуют две принципиально различные схемы выбора:

1. без возращения элементов (это значит, что отбираются либо сразу все т элементов, либо последовательно по одному элементу, причем каждый отобранный элемент исключается из исходного множества);

2. с возвращением (выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге и тщательном перемешиванием исходного множества перед следующим выбором).

В результате получаются различные постановки эксперимента по выбору наудачу m элементов из общего числа п различных элементов исходного множества.

1. Перестановки. Возьмем т различных элементов а₁,а₂,…,а_m; будем переставлять эти элементы всевозможными способами, оставляя неизменным их число и меняя лишь их порядок. Каждая из полученных таким образом комбинаций (в том числе и первоначальная) носит название перестановки. Общее число перестановок из т элементов обозначается Р_m и равно m!:

Символ т! читается «эм факториал». Следует отметить, что 0!=1.

2. Размещения. Будем составлять из n различных элементов множества по m элементов в каждом, отличающихся либо набором элементов, либо порядком их следования. Полученные при этом комбинации элементов называются размещениями из n элементов по m и обозначаются . Их общее число равно:

.

Замечание. Перестановки можно считать частным случаем размещений (именно: размещениями из т элементов по т).

3. Сочетания. Из n различных элементов будем составлять множества по m элементов, имеющих различный состав. Полученные при этом комбинации элементов называются сочетаниями из n элементов по m. Общее число различных между собой сочетаний обозначается и вычисляется по следующим формулам: или

Выше предполагалось, что все п элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае число множеств с повторениями вычисляются по другим формулам. Так, если среди п элементов есть п₁ элементов одного вида, п₂ элементов другого вида, п₃ элементов третьего вида и т.д., то число перестановок с повторениями определяется формулой

где

Число размещений по m элементов с повторениями из п элементов равно п^т, т.е.

.

Число сочетаний с повторениями из n элементов по m элементов равно числу сочетаний без повторений из n+m–1 элементов по т элементов, т.е.

.

Задачи.

1. Плановое задание рабочие строительной фирмы могут выполнить в срок или увеличив производительность (событие ), или увеличив продолжительность рабочего дня (событие ), или применив новую технологию (событие ). Любые действия рабочих фирмы приводят к выполнению планового задания (событие А). Требуется описать пространство элементарных событий Ω и записать А в алгебре событий и через элементарные события.

Решение. Данный эксперимент состоит в выполнении планового задания рабочими строительной фирмы. Все интересующие нас в данном эксперименте элементарные события состоят в регистрации выполнено или не выполнено плановое задание в срок. Поэтому пространство элементарных событий состоит из следующих элементарных событий:

– плановое задание не выполнено в срок;

– плановое задание выполнено в срок увеличением производительности труда рабочих;

– плановое задание выполнено в срок увеличением продолжительности рабочего дня;

– плановое задание выполнено в срок применением новой технологии;

– плановое задание выполнено в срок увеличением производительности труда рабочих и увеличением продолжительности рабочего дня;

– плановое задание выполнено в срок увеличением продолжительности рабочего дня и применением новой технологии;

– плановое задание выполнено в срок увеличением производительности труда рабочих и применением новой технологии;

– плановое задание выполнено в срок увеличением производительности труда рабочих, продолжительности рабочего дня и применением новой технологии.

Итак,

Так как любые действия рабочих приводят к выполнению планового задания, то

2. Саша и Маша договорились о встрече в определенном месте между 17 и 18 часами. Каждый приходит в случайный момент времени указанного промежутка и ждет другого до истечения часа, но не более 10 минут, после чего уходит. Построить пространство элементарных событий, взяв в качестве элементарного события пару чисел (х,у), где х – время прихода Саши, а у – время прихода Маши (время исчисляется в минутах, начиная с 17 часов). Выразить событие А – встреча состоялась, через элементарные события.

3. Из ящика, содержащего 5 деталей, из которых 2 бракованные, наудачу последовательно и без возвращения извлекается по одной детали до появления бракованной, после чего эксперимент прекращается. Построить пространство элементарных событий данного эксперимента.

4. Взятая наудачу деталь может оказаться либо первого (событие А), либо второго (событие В), либо третьего (событие С) сорта. Что представляют собой следующие события: ?

Решение.

• А+В – это событие, которое состоит при наступлении хотя бы одного из событий А или В. Следовательно, А+В в нашем случае – деталь первого или второго сорта.

• так как А+С – деталь первого или третьего сорта, то противоположное этому событие – деталь второго сорта.

• АВ – невозможное событие, поскольку деталь одновременно не может быть и первого и второго сорта.

• АВ+С сумма невозможного события и события С равно С , т.е. АВ+С – деталь третьего сорта.

5. В урне 5 красных, 2 синих и 3 белых шара. Все они пронумерованы цифрами 1,2,...,10. Из урны берется наудачу 1 шар. Событие – шар с четным номером – обозначим через А, с номером, кратным 3, – через В, шар красного цвета – через С, синего – через D и, наконец, белого – через Е. Что представляют собой следующие события: А+В; С+Е; AD; ; ВЕ; ?

6. Очередной зритель входит в фойе театра, где уже собралось 2п человек и начинает отыскивать знакомых среди собравшихся. Пусть событие А состоит в том, что среди собравшихся найдется п человек, знакомых вошедшему зрителю, а событие В – среди собравшихся найдется п человек, незнакомых зрителю. Показать, что А+В и – достоверные события.

7. Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию их трех человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут две женщины и один мужчина.

Решение. Рассмотренный в задаче эксперимент состоит в выборе 3 человек из 25 присутствующих на собрании.

Выбор производится без возвращения и без упорядочения трех элементов из множества, состоящего из 25 элементов. Пусть – выбор трех человек из 25. Тогда число элементарных событий пространства Ω определяется числом сочетаний из 25 по 3:

Событие А – наудачу составленная делегация из трех человек состоит из 2 женщин и одного мужчины. Число элементарных событий события А равно числу способов выбрать 2 женщин из 5 и одного мужчину из 20:

Воспользовавшись формулой (1.1.), определим вероятность того, что в делегацию войдут две женщины и один мужчина:

Ответ: Р(А)=0,06.

8. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна 7.

9. В коробке 6 одинаковых пронумерованных кубиков. Из коробки наудачу по одному извлекают все кубики без возвращения. Найти вероятность того, что номера извлекаемых кубиков появятся в возрастающем порядке.

10. В коробке среди 40 лампочек 5 бракованных. Студент покупает пять лампочек. Найти вероятность того, что среди 5 купленных лампочек 2 бракованные.

11. В магазин поступило 30 новых цветных телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Наудачу отбирается один телевизор для проверки. Какова вероятность, что он не имеет скрытых дефектов?

12. Ревизору нужно за определенный период времени проверять 100 предприятий. Известно, что одно из предприятий составляет неправильные бухгалтерские отчетности, имеет скрытые доходы. За первый квартал ревизор осуществил проверку на 10 предприятиях. Найти вероятность того, что среди 10 проверенных предприятий окажется предприятие, которое ведет неправильные бухгалтерские отчетности, имеет скрытые доходы.

13. Из 15 строительных рабочих 10 – штукатуры, а 5 – маляры. Наудачу отбирается бригада из 5 рабочих. Какова вероятность того, что среди них будет 3 маляра и 2 штукатура?

14. Фирма заключила 30 сделок по продаже товара. У шести из покупателей есть нарушения в регистрационных документах. Представитель налоговой инспекции извлекает наудачу 5 договоров о продаже товара. Найти вероятность того, что регистрационные документы у покупателей окажутся правильно оформленными.

15. На столе в беспорядке находятся 15 ведомостей, среди которых 10 непроверенных. Бухгалтер наудачу извлекает 3 ведомости. Найти вероятность того, что извлеченные документы окажутся непрверенными.

16. В трех из 15 составленных кассиром счетов имеются ошибки. Ревизор решил проверить два счета. Какова вероятность того, что : а) ни в одном из проверяемых счетов не окажется ошибки; б) в каждом из двух проверяемых счетов будут обнаружены ошибки?

17. В денежно-вещевой латерее выпущено 10000 билетов. В лотерее разыгрывается 120 денежных и 80 вещевых выигрышев. Определить вероятность того, что на приобретенный билет выпадет либо денежный либо вещевой выигрыш.

18. Среди 600 пошитых на фабрике женских пальто 16 штук оказались с дефектами. Определить вероятность того, что взятое наудачу для проверки новое пошитое пальто окажется с дефектом.

19. В условиях подписки на Государственный трехпроцентный выигрышный заем 1966 года сказано, что заем выпускается в облигациях достоинством по 20 руб на 20 лет. Ежегодно производится 8 тиражей. На каждый разряд займа в 100 млн.руб. ежегодно падают выигрыши на следующее количество облигаций:

Размер выигрыша на 20-ти рублевую облигацию (руб.), включая нарицательную стоимость облигации	Количество выигрышей в одном тираже
5000 2500 1000 500 100 40	2 5 20 109 750 8514
Всего	9400

Определить вероятность выигрыша на одну облигацию: а) в первом тираже 1966 года; б) в последнем тираже 1986 года.

20. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры. Помня лишь то, что эти цифры различны, абонент набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

21. Двадцать торговых фирм, зарегистрированных в налоговой инспекции, среди которых 4 имеют товарооборот свыше 10 миллионов денежных единиц, для проверки налоговым инспектором случайно разбиваются на 4 пронумерованные группы по 5 фирм. Найти вероятность событий:

• А={в первую и вторую группу не попадет ни одна фирма, имеющая товарооборот свыше 10 млн.ден.ед.};

• В= {в каждую группу попадет одна из фирм, имеющая товарооборот свыше 10 млн.ден.ед.}.

22. Каждая из 8 фирм проверяется одним налоговым инспектором. В штатном составе налоговой инспекции имеется 6 инспекторов. Назначение инспектора на проверку данной фирмы производится наудачу. Найти вероятность того, что первые шесть фирм будут проверены налоговым инспектором.

23. Буквенный замок содержит на оси пять дисков, каждый из которых разделен на шесть секторов с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв.

24. В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь автоматически открывается, если в определенной последовательности набраны три цифры из имеющихся десяти. Некто вошел в подъезд и, не зная кода, стал наудачу подбирать различные комбинации из трех цифр. На каждую попытку он тратит 20 секунд. Какова вероятность события, состоящего в том, что вошедшему удастся открыть дверь за один час?

25. Пять человек вошли в лифт на первом этаже девятиэтажного дома. Любой пассажир может с равной вероятностью выйти на 2-м, 3-м,..., 9-м этажах. Найти вероятность событий: а) ни один из пассажиров не выйдет на втором, третьем и четвертом этажах; б) трое пассажиров выйдут на девятом этаже; в) все пассажиры выйдут на одном этаже.

26. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время разгрузки первого парохода – один час, а второго – два часа.

Решение. Пусть х – время прихода к причалу первого парохода, а у – время прихода к причалу второго парохода. Так как время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение суток, то Тогда множество элементарных событий Ω определяется парой чисел (х,у), т.е.

Геометрически – это множество точек квадрата со стороной 24.

Пусть событие А состоит в том, что одному из пароходов придется ждать освобождения причала. Предположим, что первым к причалу подойдет первый пароход. Тогда второй будет ждать освобождения причала, если разница между временем прихода второго парохода и первого будет меньше или равна 1 час, т.е. . Если же первым к причалу подойдет второй пароход, то первый будет ждать освобождения причала, если разность между временем прихода первого и второго будет меньше или равна 2 часа, т.е. Следовательно, множество элемнтарных событий, соответствующих событию А будет определяться неравенствами: т.е.

.

Геометрически – это множество точек заштрихованной полоски (см. рис. 1.1).

По формуле (1.2) геометрической вероятности находим вероятность события А:

.

Р ис.1.1

Ответ: .

27. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длиной 10 км равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А, где находится ремонтная станция, на расстоянии не менее 1 км.

28. Определить вероятность события, состоящего в том, что студенту придется ждать поезда метро не более 10 секунд при условии, что интервал движения поездов составляет 3 минуты.

29. Два поставщика должны привести товар в магазин, у которого для разгрузки товара имеется одна рампа. Время поставки товара поставщиками независимо и равновозможно в течение суток. Определить вероятность того, что одному из поставщиков придется ждать освобождения рампы, если время разгрузки первого поставщика один час, а второго – два часа.

30. В случайный момент времени к перекрестку, на котором установлен автоматический светофор, подъезжает автомобиль. В светофоре одну минуту горит зеленый свет и полминуты – красный, затем снова одну минуту – зеленый и полминуты – красный и т.д. Какова вероятность того, что автомобиль проедет перекресток без остановки.

31. К остановке через каждые 6 минут подходит автобус и через каждые 7 минут – троллейбус. Интервал времени между моментами прихода автобуса и ближайшего следующего троллейбуса равновозможен в пределах от 0 до 6 минут. Определить вероятность того, что: а) первым подошедшим транспортом окажется автобус; б) автобус или троллейбус подойдет через 3 минуты.

32. Шарик брошен наудачу внутрь круга радиуса R. Вероятность попадания шарика (точки касания плоскости круга) в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади этой области. Найти вероятность того, что точка прикосновения шарика к плоскости круга находится от центра на расстоянии, меньше .

33. Случайная точка х равномерно распределена в правильном треугольнике с вершинами . Найти вероятность того, что квадрат с центром х и сторонами длины b, параллельными осям координат, целиком содержится в этом треугольнике.

34. Наудачу взять два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 1. Найти вероятность того, что сумма х+у не превышает 1, а произведение ху не меньше 0,09.

35. Быстро вращающийся диск разделен на четное число секторов, попеременно окрашенных в красный и синий цвета. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из красных секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.

36. В шар вписан куб. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность того, что точка попадет в куб.

37. Для предварительного опроса населения некоторого города в связи с избирательной компанией была произведена случайная выборка 1000 участников. 320 человек заявили, что они проголосуют за кандидата от партии «зеленых». Определите вероятность того, что случайный избиратель будет голосовать за кандидата от партии «зеленых».

Решение. В эксперименте рассматриваемой задачи нет оснований считать, что все элементарные события равновозможны и, следовательно, нет возможности построить пространство элементарных событий.

Пусть событие А состоит в том, что случайный избиратель будет голосовать за кандидата от партии «зеленых». Для определения вероятности этого события воспользуемся формулой (1.4):

38. Контролер, проверяя качество 500 деталей, изготовленных на автоматическом станке определил, что 15 из них не удовлетворяет стандарту. Определите вероятность изготовления нестандартной детали.

39. Среди 1000 новорожденных некоторого города оказалось 495 девочек. Чему равна вероятность рождения девочки в этом городе?

40. При обследовании 1000 семей некоторого города оказалось, что в 120 семьях имеются три ребенка. Какова ожидаемая частость семьи, имеющей 3 ребенка, в этом городе?

41. Определите относительную частоту роста солдат равного 1м 80см, если среди 1000 солдат оказалось 750 имеют рост 1м 80см.

42. На фондовую биржу на продажу поступило 30 акций, из них 3 принадлежат нефтяной компании. Все акции случайным образом распределили поровну между 3 брокерами. Определить вероятность того, что каждому брокеру достанется по одной акции нефтяной компании.

43. Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик вместимостью 100 монет одну фальшивую. Король подозревает чеканщика и подвергает проверке монеты, взятые наудачу по одной из каждого из 100 ящиков. Какова вероятность того, что чеканщик не будет разоблачен.

44. Найти вероятность того, что в номере счета сберкнижки, случайно взятого кассиром в банке сумма двух первых цифр равна сумме двух последних.

45. Вес некоторых пачек печенья оказывается заниженным. Число таких пачек составляет 1% от общего числа пачек в большой партии. Наугад из партии выбрали две пачки печенья. Какова вероятность того, что обе пачки имеют заниженный вес?

46. На отрезок ОА длины L числовой оси ОХ наудачу поставлена точка В(Х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА будет иметь длину, большую, чем 1/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

47. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 6 см, наудачу брошен круг радиуса 1 см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одной из прямых. Предполагается, что исход попадания круга на плоскость определяется центром упавшего круга.

48. Имеются 300 претендентов на бухгалтерские должности. Вероятность того, что претендент имеет диплом, равна 0,30, что он располагает опытом бухгалтерской работы – 0,70 и что он имеет диплом и опыт такой работы – 0,20. Построить диаграмму Венна, пользуясь обозначениями: G – наличие диплома; W – наличие опыта бухгалтерской работы.

49. В 10 из 1000 собранных компонентов был обнаружен монтажный, а в пяти конструктивный брак. Имеются основания полагать, что ни один из компонентов не имеет одновременно обоих браков. Постройте диаграмму Венна, показывающую различные возможные исходы, при этом пользуйтесь следующими обозначениями: WD – наличие монтажного брака; SD – наличие конструктивного брака; ND – отсутствие брака.

50. При обследовании потребителей была составлена выборка, включающая 100 человек. Возраст 60 из них превышает 30 лет. 80 человек живут в городе; возраст 48 из 80 горожан превышает 30 лет. Постройте диаграмму Венна, отражающую состав выборки. При этом пользуйтесь следующими обозначениями: >30 – лица, возраст которых превышает 30 лет; – лица, возраст которых равен 30 годам или менее; N – горожане, R – сельские жители.

51. Из множества претендентов на должность экономиста, зарегистрированных на бирже труда, наудачу выбирают одного. Пусть событие А состоит в том, что выбранный претендент закончил вуз с красным дипломом, событие В – выбранный претендент закончил вуз без красного диплома, С – выбранный претендент закончил техникум. Описать события: а) б) .

52. Относительно каждой из группы событий ответьте на следующие вопросы: образуют ли они полную группу, являются ли несовместимыми, являются ли равновозможными. Опыт: результат сбыта продукции. F₀ = {фирма не имеет прибыли}; F₁ = {фирма имеет прибыль}.

53. Пусть эксперимент состоит в проведении голосования по стратегии развития акционерного общества собранием из т членов. Каждый участник может голосовать «за» и «против» или воздержаться от голосования. Каково число элементарных событий в Ω, если голосование является: 1) открытым, 2) тайным. Если в процессе обсуждения акционеры могут менять свое мнение, то сколько элементов содержит Ω, если голосование проводится дважды (двумя способами).

54. Акционер имеет n ценных бумаг (акций). Пусть событие состоит в том, что i-я приобретенная им акция обесценилась. Описать события, заключающиеся в том, что: а) ни одна из акций не обесценилась; б) хотя бы одна акция упала в цене; в) только одна акция обесценилась; г) только две акции обесценились; д) по крайней мере, две акции принесут прибыль; е) только две акции обесценились.

55. Событие А_i означает, что данная прибыль получена от i-го источника дохода. С помощью событий А_i и описать события: а) прибыль получена; б) прибыль получена только от одного источника дохода; в) прибыль не получена.

56. Пусть события А_i = {трактор изготовлен на i-ом заводе}, В_i = {трактор, изготовленный на i-ом заводе, дефектный}, i=1,2. Выразить при помощи событий А_i и В_i и им противоположных следующие события: а) получен доброкачественный трактор с первого завода; б) получен один доброкачественный трактор.