1. Случайные события. Вероятность

Пространством элементарных событий называют множество Ω взаимоисключающих исходов эксперимента такое, что каждый интересующий результат эксперимента может быть однозначно описан с помощью элементов этого множества. Элементы Ω называются элементарными событиями и обозначаются ω: .

Событием называют любое подмножество , элементов из Ω. Событие А произойдет, если произойдет какое-либо из элементарных событий . Множество, не содержащее ни одного элементарного события, называется невозможным событием. Множество, содержащее все элементарные события, называется достоверным событием, т.е. это событие, которое всегда происходит.

Суммой двух событий А и В называется событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих хотя бы одному из событий А или В.

Произведением двух событий А и В называется событие , состоящих из элементарных событий, принадлежащих одновременно А и В.

Противоположным событием событию А называют событие , состоящее из элементарных событий, не принадлежащих А.

Разностью двух событий А и В называют событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих событию А, но не принадлежащих событию В.

События А и В называются несовместными, если у них нет общих элементарных событий.

Пусть F – поле событий для данного эксперимента. Вероятностью Р(А) называется числовая неотрицательная функция, определенная на всех и удовлетворяющая трем аксиомам вероятностей (аксиомам Колмогорова):

1. Вероятность любого события заключается в пределах от 0 до 1: .

2. Вероятность достоверного события равна единице: Р(Ω)=1.

3. Вероятность объединения любой конечной или бесконечной последовательности попарно несовместимых событий А₁,А₂,…,А_k…, (А_iA_j=Ǿ при ij) равна сумме вероятностей этих событий:

.

В частности для двух событий А и В: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Существуют 4 способа задания числовой неотрицательной функции Р(А):

1. Классический способ задания вероятности.

При данном способе пространство элементарных событий является конечным, и все элементарные события равновероятны. Тогда вероятность события определяется равенством:

(1.1)

где т – число элементарных событий, благоприятствующих появлению события А; n – общее число элементарных событий пространства Ω.

2. Геометрический способ задания вероятности.

При данном способе пространство элементарных событий является бесконечным, но все элементарные события, входящие в это пространство, являются равновозможными.

Если отождествлять пространство элементарных событий с некоторой замкнутой областью пространства из R₁,R₂,R₃, то вероятность события А будет вычисляться по формуле:

(1.2)

где gG и (g), (G) меры областей:

• длина (если рассматривается пространство R₁);

• площадь (если рассматривается пространство R₂);

• объем (если рассматривается пространство R₃).

3. Дискретный способ задания вероятности.

При данном способе пространство элементарных событий является бесконечным счетным множеством. Числовая неотрицательная функция Р определяется таким образом, чтобы вероятность каждого элементарного события была равна некоторому числу . Тогда вероятность любого события А вычисляется по формуле:

(1.3)