Литература

1. Булдык Г.М. Теория вероятностей и математическая статистика. – Мн.: Выш. шк.,1989. – 285 с.

2. Булдык Г.М. Статистическое моделирование и прогнозирование.– Мн.: НО ООО “БИП-С”, 2003. – 399 с.

3. Сборник задач по математике для втузов. Ч.З. Теория вероятностей и математическая статистика. Под редакцией А.В. Ефимова. – М.: Наука, 1990. – 432 с.

4. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А. А. Свешникова. – М.: Наука, 1970. – 656с.

Ответы, указания и решения

1. Теория вероятностей

   1. Случайные события. Вероятность

1.2. ; . 1.3. Исход эксперимента {бракованная деталь появится при i-том испытании}, . 1.5. А+В={появился шар с четным номером или кратным 3} и т.д. 1.6. {среди 2п собравшихся ровно i человек знакомы вошедшему}. . Учесть, что . 1.8. {выпала грань, содержащая i очков на первой игральной кости}, {выпала грань, содержащая j очков на второй игральной кости}. . . . 1.9. Номера кубиков могут появиться в любом порядке. Число таких способов появления равно числу перестановок из 6 элементов: . . . 1.10. {отобраны пять лампочек из сорока}, ; . Все равновозможны. А={среди 5 купленных лампочек 2 бракованные}, , ; ; . 1.11. {отобран телевизор для проверки}, . , , так как 5 телевизоров имеют дефекты. . 1.12. {десять предприятий отобранных для проверки}, ; . А={среди десяти проверенных одно предприятие, которое ведет неправильные бухгалтерские отчетности, имеет скрытые доходы}, , ; ; . 1.13. , ; , где {отобрана бригада из пяти строителей}. А={бригада состоит из 3 маляров и 2 штукатуров}. . 1.14. . 1.15. . 1.16. а) ; б) . 1.17. . 1.18. . 1.19. А={выигрыш в первом тираже 1966 года}. Всего выпущено облигаций: 100000000:20=5000000. . В={выигрыш в последнем тираже 1986 года}. За 20 лет было 159 тиражей, без последнего, и было выпущено 209400=188000 выигрышных облигаций. Общее число облигаций в последнем тираже равно: 5000000–(1599400)=3505400. . 1.20. , {набраны три цифры}, – число всех наборов трех цифр равно числу трехэлементных упорядоченных подмножеств из 10 элементов. А={набраны три нужные цифры}. Множество А состоит из одного элемента. . 1.21. , {выбор пяти фирм}; число элементов определяется как произведение выбора пяти элементов из оставшихся элементов исходного множества . Для определения числа элементов множества А представим все множество 20 фирм в виде двух множеств и , где – фирмы имеющие товарооборот свыше 10 млн ден.ед., а – другие фирмы. Число элементов множества А равно ; число элементов множества В равно . ; . 1.22. , {выбор шести фирм для проверки}, . , где А={проверены первые шесть фирм}. 1.23. А={замок открыт}, . 1.24. , {набраны три цифры}, . Время (сек). А={вошедший открыл дверь на один час}, . . 1.25. , {пассажир вышел на каком-то этаже}. Число способов выйти 5 пассажирам на 8-ми этажах . А={ни один из пассажиров не вышел на 2, 3 и 4 этажах}, число способов ; В={трое пассажиров выйдут на девятом этаже}, при этом каждый из оставшихся двоих может выйти на любом этаже, ; С={все пассажиры выйдут на одном этаже}, . ; ; . 1.27. D={точка разрыва телефонной линии удалена от точки А не менее чем на 1 км}, . 1.28. А={студенту придется ждать поезда метро 10 сек.}, . 1.29. А={одному из поставщиков придется ждать освобождения рампы}, . 1.30. А={автомобиль проехал перекресток без остановки}, . 1.31. Пусть х и у – моменты времени прихода автобуса и троллейбуса. Областью возможных значений х и у является множество точек прямоугольника: и , т.к. если х – произвольный момент времени: и моменты прихода автобуса: 0; 6; 12; то моменты прихода троллейбуса: у; у+7, где . А={первым подошедшим транспортом окажется автобус}. Благоприятствующие значения х и у появлению события А удовлетворяют неравенствам: , , , ; при , , или ; (рис.1). . В={автобус или троллейбус подойдет через три минуты}. Благоприятствующие значения х и у появлению события В удовлетворяют неравенствам: , , а при ; или , , , ; (рис.2). .

Рис.1 Рис.2

1.32. . 1.33. , , . 1.34. . 1.35. . 1.36. А={точка попала в куб}. Пусть R – радиус шара; a – ребро куба. Тогда . , т.к. . . 1.38. . 1.39. . 1.40. . 1.41. . 1.42. . 1.43. . 1.44. . 1.45. . 1.46. . 1.47. .