2.3.3. Проверка гипотезы о равенстве значений двух средних из нормально распределенных генеральных совокупностей

Рассмотрим нормально распределенные случайные величины X и Y. Пусть в результате наблюдения получены две независимые выборки объемами n₁ и n₂. Проверим гипотезу H₀ о равенстве математических ожиданий случайных величин X и Y: М(Х) = M(Y) при альтернативной гипотезе H₁: М(Х) М(Y).

Если σ(Х) и σ(Y) известны, то в качестве статистической характе­ристики принимаем величину

, (3.3)

имеющую нормальный закон распределения с параметрами 0 и 1: .

Критическая область (–∞; – ] [ ; +∞) определяется таким образом, чтобы |Z| , где находят из условия P(|Z| ) = , т.е. Ф*( )= 1– , для уровня значимости α₀.

При альтернативной гипотезе H₁ : М(Х) > М(Y), находят из усло­вия P(Z – )=α₀, т. е. Ф*( )= , для уровня значимости α₀. Тогда, если Z_pacч – то, нулевую гипотезу отвергают; в противном случае (Z_paсч >– ) нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

При альтернативной гипотезе H₁ : М(Х) < М(Y), находят из усло­вия P(Z ) = α₀, т. е. Ф*( ) =1–α₀ для уровня значимости α₀ (по таблице значений функции Ф*(z)). Если Z_расч , то нулевую гипотезу отвергают; в противном случае (Z_расч < z_α) нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Пусть для нормально распределенных случайных величин X и Y дисперсии σ²(X) и σ²(Y) неизвестны. Тогда в качестве статистической характеристики принимаем величину

, (3.4)

имеющую распределение Стьюдента с степенями свободы.

При альтернативной гипотезе H₁ : М(Х) М(Y) критическую область ( ∞; –_; ] [ _{; v}; +∞) определяют таким образом, чтобы |T| _{; v},где находят из условия Р(|Т| _{; v}) = α₀/2 для уровня значимости по таблице значений распределения Стьюдента с степенями свободы (приложение 3).

Тогда, если |T_расч| _, нулевую гипотезу отвергают; в против­ном случае (|T_расч| < ) нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

При альтернативной гипотезе H₁: М(Х)>М(Y) (или М(Х)<M(Y)) находят из условия P(T ) = α₀ (или P(T – ) = α₀) для уровня значимости α₀ по таблице значений распределения Стьюдента с степенями свободы.

Если T_расч> (или T_расч<– ), то нулевую гипотезу отвергают; в противном случае (T_расч< или T_расч>– ) нет оснований от­вергать нулевую гипотезу.

Если объемы выборок n₁ и n₂ достаточно велики, то в качестве статистической характеристики для проверки нулевой гипотезы исполь­зуется величина

(3.5)

Величина (3.5) имеет нормальный закон распределения с параметрами 0 и 1: .

Задачи

3.31. В двух фирмах, выпускающих детское питание, произ­водилась оценка качества продукции. В фирме А, где проверялось 30 единиц продукции, средняя сумма баллов оказалась равной 52. Во второй фирме В проверялось 36 единиц продукции, и их средняя сумма баллов оказалась равной 47. Среднее квадратичное отклонение суммы баллов, вычисленное для нескольких тысяч единиц продукции, σ = 12. Определить, лучшее ли питание выпускается фирмой А, чем фирмой В.

Решение. Из условия следует, что проверенная продукция фирмы А лучше, чем продукция фирмы В. Можно ли утверждать, что фирма А выпускает лучшую продукцию, чем фирма B?

Сформулируем гипотезы. Основная гипотеза H₀ : = , где и – средние совокупностей балльных оценок детского питания, производимого фирмами А и В соответственно. Альтернативная гипо­теза H₁: > .

Поскольку нас интересует, лучшее ли детское питание выпускается фирмой А , чем фирмой В, воспользуемся односторонней альтернативной гипотезой. Возьмем уровень значимости α₀= 0,05. Из условия задачи известно, что n_A = 30, n_B = 36.

В данной задаче нет другой информации, кроме двух выборочных средних. Поэтому разность средних – представляет собой меру сравнения качества детского питания фирм А и В. Эта величина распределена приближенно нормально со средним – и стандартным отклонением

(3.6)

В качестве статистики возьмем стандартную нормальную величину

(3.7)

Критическое значение при 5%-м уровне значимости для односторонней проверки гипотез равно 1,65 (см таблицу 3.1). Поэтому областью принятия нулевой гипотезы будет множество значений , не превосходящих 1,65, т.е. интервал .

Если выборочное значение 1,65, то делаем вывод, что фирмой А выпускается детское питание лучшего качества, чем фирмой В.

Если < 1,65, то заключаем, что в общем фирмы А и В выпускают детское питание одинакового качества.

Так как по формуле (3.6) имеем

,

то выборочное значения статистики (3.7) равно:

.

Значение статистики = 1,6515 > 1,65. Поэтому при 5%-м уровне значимости можно утверждать, что фирма А выпускает лучшее детское питание, чем фирма В.

Ответ: фирма А выпускает детское питание лучшего качества, чем фирма В.

3.32. Покрышки автомобиля были исследованы на износ после 10 000 км пути. Каждая покрышка сделана наполо­вину из резины сорта А, наполовину – из резины сорта В. Все колеса вращаются с одинаковой скоростью, поэтому можно считать, что они находятся в одинаковых условиях. Результаты исследования (в баллах) приведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Номер покрышки	1	2	3	4
Износ резины сорта А	32	40	36	35
Износ резины сорта В	25	28	27	26

Сделать проверку односторонней гипотезы о том, что резина сорта В больше изнашивается, чем резина сорта А, при уровне значимости критерия α₀ = 0,05.

3.33. В магазине отобрали случайным образом по 40 банок «Солянки» производства двух заводов. Каждая из банок была оценена в баллах с помощью органолептических показателей. Результаты оценки приведены в табл. 3.5.

Таблица 3.5

	Завод № 1	Завод № 2
Средний балл	71	76
Стандартное отклонение	5	6

Проверить при уровне значимости 0,05 гипотезу о том, что консервы завода № 2 лучшего качества, чем завода № 1.

3.34. На некотором поле выбрали 100 участков земли; 50 участков засеяли одним сортом ячменя, 50 – другим сортом. На первых 50 участках получили урожай в среднем 60 ц/га со стандартным отклонением 3 ц/га. Средний урожай на участках, засеянных ячменем другого сорта, оказался равным 65 ц/га со стандартным отклонением 3,5 ц/га. Будет ли средний урожай этого сорта ячменя значимо превосходить средний урожай ячменя первого сорта? Принять α₀ = 0,05.

3.35. Для проверки эффективности нового лекарства были отобраны две случайные группы по 50 человек, стра­дающих гриппом. Одной группе давали таблетки, не со­держащие никакого лекарства, другой группе давали такие же по внешнему виду таблетки, но содержащие новый вид лекарства от гриппа. В первой группе люди выздоровели в среднем через 7 дней, а во второй – через 6 дней. Стандартное отклонение продолжительности лече­ния одного человека от гриппа независимо от того, прини­мал или не принимал он лекарства, можно положить рав­ным двум дням. Можно ли на основании полученных ре­зультатов сказать, что новое лекарство существенно уско­ряет выздоровление?

3.36. Было произведено 12 измерений диаметра вала. При этом оказалось, что среднее = 10,20 мм, а стандарт­ное отклонение 0,05 мм. Затем вал поместили в условия с высокой температурой и произвели еще 8 измерений диаметра его оси. Среднее на этот раз оказалось равным 10,25 мм, а стандартное отклонение – 0,05. Можно ли сделать вывод, что диаметр вала существенно увеличи­вается при 5%-м уровне значимости в пространстве с высокой температурой?

3.37. Студенты экономического и гуманитарного уни­верситетов сдавали экзамен по математике. В экономиче­ском университете, где экзаменовались 30 студентов, сред­няя оценка оказалась 4,52. В гуманитарном университете сдавали экзамен 36 студентов, их средняя оценка оказа­лась равной 4,47. Среднее квадратичное отклонение оценок по математике, вычисленное для нескольких студентов, σ = 0,12. Лучше ли подготовлены по математике студенты экономического университета, чем студенты гуманитар­ного университета? Принять α₀ = 0,05.

3.38. С целью ускорения производства интегральных схем производст­венная линия была модифицирована. Для исследования эффекта от этой моди­фикации было за­фиксировано время изготовления каждой из 50 интеграль­ных схем при старом и новом процессах. Для немодифицированного процесса сред­нее время изготовления одной интегральной схемы оказалось равным 35с, а для процес­са, подвергшегося модификации –33с. Стандартные от­клонения времени изготовления интегральной схемы для первого и второго процессов можно счи­тать приблизи­тельно одинаковыми. Вычисленное значение объединен­ной оценки среднего квадратичного отклонения равно 1,5с. Можно ли сделать вы­вод, что скорость изготовления интегральной схемы при модифицированном процессе больше?

3.39. Месячная заработная плата для выборки из 50 рабочих определен­ной фирмы составляет 910 тыс. р. при среднем квадратичном отклонении 1,44 тыс. р., а заработ­ная плата для выборки из 40 рабочих другой фирмы равна 905 тыс. р. при среднем квадратичном отклонении 1,50 тыс. р. Выше ли заработная плата в первой фирме, чем во второй? Уровень значимости принять равным 0,01.

3.40. Средний диаметр для случайной выборки из 65 подшипников, обра­ботанных на каком-либо станке, равен 0,24 см при среднем квадратичном от­клонении σ =0,02 см. На следующий день из числа обработанных на этом станке подшипников вновь отбирают 65 штук и устанавливают, что их средний диаметр равен 0,25 см при среднем квадратичном отклонении 0,04 см. Требу­ется ли переналадки станок? Уровень значимости α₀ принять равным 0,05.