Двумерные случайные величины
Совокупность
случайных величин Х1,Х2,...,Хп,
определенных на вероятностном пространстве
(
)
образует п-мерную
случайную величину (Х1,Х2,...,Хп).
Если экономический процесс описывается
при помощи двух случайных величин Х1
и
Х2,
то
определяется
двумерная случайная величина (Х1,Х2)
или
(X,Y).
Функцией
распределения системы
двух случайных величин (Х,Y),
рассматриваемой как функция переменных
называется вероятность появления
события
:
Значения функции распределения удовлетворяют неравенству
С геометрической точки зрения функция распределения F(x,y) определяет вероятность того, что случайная точка (х,Y) попадет в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х,у), так как точка (х,Y) будет ниже и левее указанной вершины (рис.9.1).
Рис.9.1
Вероятность
попадания случайной точки (х,Y)
в полуполосу
(рис.9.2) или в полуполосу
(рис.9.3) выражается формулами:
,
соответственно.
Вероятность попадания значений двумерной
случайной величины (х,Y)
в прямоугольник
(рис.9.4) можно найти по формуле:
Рис.9.2
Рис.9.3 Рис.9.4
Дискретной называют двухмерную величину, составляющие которой дискретны.
Законом
распределения двумерной
дискретной случайной величины (X,Y)
называется множество всевозможных
значений (xi,
yj),
,
дискретных случайных величин Х
и Y
и соответствующих им вероятностей
,
характеризующих вероятность того, что
составляющая Х
примет значение xi
и одновременно с этим составляющая Y
примет значение yj,
причем
Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (X,Y) задают в виде табл. 9.1.
Таблица 9.1
ΩХ ΩY |
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
y1 |
p(x1,y1) |
p(x2,y1) |
… |
p(xi,y1) |
… |
y2 |
p(x1,y2) |
p(x2,y2) |
… |
p(xi,y2) |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
yi |
p(x1,yi) |
p(x2,yi) |
… |
p(xi,yi) |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Непрерывной
называют
двумерную случайную величину, составляющие
которой непрерывны. Функция р(х,у),
равная пределу отношения вероятности
попадания двумерной случайной величины
(X,Y)
в
прямоугольник со сторонами
и
к площади этого прямоугольника, когда
обе стороны прямоугольника стремятся
к нулю, называется плотностью
распределения вероятностей:
Зная
плотность распределения, можно найти
функцию распределения по формуле:
Во
всех точках, где существует смешанная
производная второго порядка функции
распределения
,
плотность распределения вероятностей
можно найти по формуле:
Вероятность
попадания случайной точки (х,у)
в область D
определяется
равенством:
Вероятность того, что случайная величина X приняла значение X<х при условии, что случайная величина Y приняла фиксированное значение Y=y, вычисляется по формуле:
Аналогично,
Формулы для вычисления условных плотностей распределения вероятностей составляющих X и Y :
Совокупность
условных вероятностей p(x1|yi),
p(x2|yi),
…, p(xi|yi),
… отвечающих условию Y=yi,
называется условным распределением
составляющей Х
при Y=yi
дискретной двумерной случайной величины
(X,Y),
где
Аналогично
условное распределение составляющей
Y
при Х=хi
дискретной
двумерной случайной величины (х,Y)
– это совокупность условных вероятностей
отвечающих условию X=xi
, где
Начальным
моментом порядка k+s
двумерной
случайной величины (X,Y)
называется
математическое ожидание произведений
и
,
т.е.
.
Если
X
и
Y
– дискретные
случайные величины, то
Если
X
и
Y
– непрерывные
случайные величины, то
Центральным
моментом порядка
k+s
двумерной
случайной величины (X,Y)
называется
математическое ожидание произведений
и
,
т.е.
Если составляющие величины являются дискретными, то
Если составляющие величины являются непрерывными, то
где р(х,y) – плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y).
Условным математическим ожиданием Y(X) при X=х (при Y=у) называется выражение вида:
– для
дискретной случайной величины Y(X);
– для
непрерывной случайной величины Y(X).
Математические ожидания составляющих X и Y двумерной случайной величины вычисляются по формулам:
или
или
Корреляционным моментом независимых случайных величин X и Y, входящих в двумерную случайную величину (X,Y), называют математическое ожидание произведений отклонений этих величин:
.
Корреляционный
момент двух независимых случайных
величин X
и
Y,
входящих в двумерную случайную величину
(X,Y),
равен нулю.
Коэффициентом
корреляции
случайных
величин X
и
Y,
входящих в двумерную
случайную величину (X,Y),
называют отношение корреляционного
момента к произведению средних
квадратических отклонений этих величин:
Коэффициент
корреляции характеризуют степень
(тесноту) линейной корреляционной
зависимости между X
и Y.
Случайные
величины, для которых
,
называются некоррелированными.
Коэффициент корреляции удовлетворяет свойствам:
Коэффициент корреляции не зависит от единиц измерения случайных величин.
Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицу:
Если
то между составляющими
X
и
Y
случайной величины (X,Y)
существует линейная функциональная
зависимость:
Если
то составляющие
X
и
Y
двумерной случайной величины
некоррелированы.Если
то составляющие X
и
Y
двумерной случайной величины зависимы.
Уравнения M(X|Y=у)=φ(у) и M(Y|X=х)=ψ(x) называют уравнениями регрессии, а линии, определяемые ими, – линиями регрессии.
Задачи
Двумерная дискретная случайная величина (X, Y) задана законом распределения:
Таблица 9.2
-
Ωх
Ωy
1
2
3
4
0
0,2
0,15
0,08
0,05
1
0,1
0,05
0,05
0,1
2
0,05
0,07
0,08
0,02
Найти: а) законы распределения составляющих X и Y;
б) условный закон распределения величины Y при X =1;
в) функцию распределения.
Выяснить,
являются ли независимыми величины X
и
Y.
Вычислить вероятность
и основные числовые характеристики
М(Х),
М(Y),
D(X),
D(Y),
R(X,Y),
.
Решение.
а)
Случайные
величины X
и
Y
определены на множестве
,
состоящем из элементарных исходов,
которое имеет вид:
Событию
{X=1}
соответствует множество таких исходов,
у которых первая компонента равна 1:
(1;0), (1;1), (1;2). Эти исходы несовместимы.
Вероятность того, что Х
примет значение хi,
согласно аксиоме 3 Колмогорова, равна:
Аналогично
Следовательно, маргинальное распределение составляющей Х, может быть задано в виде табл. 9.3.
Таблица 9.3
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
P(X=xi) |
0,35 |
0,27 |
0,21 |
0,17 |
Чтобы найти вероятность P(Y=yi), необходимо сложить вероятности строки yi в табл. 9.2:
Тогда маргинальное распределение составляющей Y, двумерной случайной величины, имеет вид:
Таблица 9.4
yj |
0 |
1 |
2 |
P(Y=yi) |
0,48 |
0,30 |
0,22 |
б) Совокупность условных вероятностей р(1;0), р(1;1), р(1;2) отвечающих условию X=1, называется условным распределением составляющей Y при X=1. Вероятность значений величины Y при Х=1 найдём при помощи формулы:
Поскольку
,
то, подставив значения соответствующих
вероятностей, получаем
Итак, условное распределение составляющей Y при Х=1 имеет вид:
Таблица 9.5
yj |
0 |
1 |
2 |
|
0,48 |
0,30 |
0,22 |
Так как условный и безусловный законы распределения не совпадают (см. табл. 9.4 и 9.5), то величины X и Y зависимы. Этот вывод подтверждается тем, что не выполняется равенство
для любой пары возможных значений X и Y.
Например,
в) Функция распределения F(x,y) двумерной случайной величины (X,Y) имеет вид:
где
суммирование выполняется по всем точкам
(
),
для которых одновременно выполняются
неравенства xi<x
и yj<y.
Тогда для заданного закона распределения,
получим:
Результат удобнее представлять в виде табл.9.6.
Таблица 9.6
-
х
y
0
0
0
0
0
0
0,20
0,35
0,43
0,48
0
0,30
0,5
0,63
0,78
0
0,35
0,62
0,83
1
Воспользуемся формулами для начальных моментов и результатами таблиц 9.3 и 9.4 и вычислим математические ожидания составляющих X и Y:
Дисперсии вычислим через второй начальный момент и результаты табл. 9.3 и 9.4:
Для вычисления ковариации К(X,Y) используем аналогичную формулу через начальный момент:
Коэффициент корреляции определяется по формуле:
Искомая
вероятность
определяется как вероятность попадания
в область на плоскости, определяемую
соответствующим неравенством:
где
Кораблем передается сообщение «SOS», которое может быть принято двумя радиостанциями. Этот сигнал может быть принят одной радиостанцией независимо от другой. Вероятность того, что сигнал принят первой радиостанцией, составляет 0,95; вероятность того, что сигнал принят второй радиостанцией, равна 0,85. Найти закон распределения двумерной случайной величины, характеризующей прием сигнала двумя радиостанциями. Написать функцию распределения.
Решение: Пусть X – событие, состоящее в том, что сигнал принимает первая радиостанция. Y – событие состоит в том, что сигнал принимает вторая радиостанция.
Множество
значений
.
Х=1 – сигнал принят первой радиостанцией;
Х=0 – сигнал не принят первой радиостанцией.
Множество
значений
.
Y=l – сигнал принят второй радиостанцией,
Y=0 – сигнал не принят второй радиостанцией.
Вероятность того, что сигнал не принят ни первой, ни второй радиостанциями равна:
.
Вероятность принятия сигнала первой радиостанцией:
.
Вероятность того, что сигнал принят второй радиостанцией:
.
Вероятность
того, что сигнал принят и первой и второй
радиостанциями, равна:
.
Тогда
закон распределения двумерной случайной
величины
равен:
y x |
0 |
1 |
0 |
0,007 |
0,142 |
1 |
0,042 |
0,807 |
При каждом фиксированном значении точки с координатами (х,y) значение F(х,y) равно сумме вероятностей тех возможных значений случайной величины (X,Y), которые попадают внутрь указанного прямоугольника.
Тогда функция распределения будет иметь вид:
Две фирмы выпускают одинаковую продукцию. Каждая независимо от другой может принять решение о модернизации производства. Вероятность того, что первая фирма приняла такое решение, равна 0,6. Вероятность принятия такого решения второй фирмой равна 0,65. Написать закон распределения двумерной случайной величины, характеризующей принятие решения о модернизации производства двух фирм. Написать функцию распределения.
Ответ: Закон распределения:
|
0 |
1 |
0 |
0,14 |
0,21 |
1 |
0,26 |
0,39 |
При
каждом фиксированном значении точки с
координатами (x,y)
значение
равно сумме вероятностей тех возможных
значений
,
которые попадают внутрь указанного
прямоугольника
.
На токарном станке-автомате изготавливаются поршневые кольца для двигателей автомобиля. Измеряются толщина кольца (случайная величина X) и диаметр отверстия (случайная величина Y). Известно, что около 5% всех поршневых колец бракованные. Причем, 3% брака обусловлены нестандартными диаметрами отверстий, 1% – нестандартной толщиной и 1 % – бракуют по обоим признакам. Найти: совместное распределение двумерной случайной величины (X,Y); одномерные распределения составляющих Х и Y; математические ожидания составляющих X и Y; корреляционный момент и коэффициент корреляции между составляющими X и Y двумерной случайной величины (Х,Y).
Ответ: Закон распределения:
|
0 |
1 |
0 |
0,01 |
0,03 |
1 |
0,01 |
0,95 |
;
;
;
;
;
.
В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 4%, а вследствие дефекта В – 3,5%. Стандартная продукция составляет 96%. Определить какой процент всей продукции обладает дефектами обоих типов.
Случайная величина (X,Y) распределена с постоянной плотностью
внутри квадрата R,
вершины которого имеют координаты
(–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Определить плотность
распределения случайной величины
(X,Y)
и
условные плотности распределения
р(х\у),
р(у\х).
Решение.
Построим
на плоскости x0y
заданный квадрат (рис.9.5) и определим
уравнения сторон квадрата ABCD,
воспользовавшись
уравнением
прямой, проходящей через две заданные
точки:
Подставив координаты вершин А
и
В
получим
последовательно уравнение стороны АВ:
или
.
Рис.9.5
Аналогично
находим уравнение стороны ВС:
;
стороны CD:
и стороны
DA:
.
Согласно условия задачи, плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины имеет вид:
Константу С находим, воспользовавшись свойством плотности распределения:
Так как область интегрирования является симметричной относительно начала координат, то интеграл, стоящий в левой части равенства, будет равен:
Тогда
8С=1,
следовательно,
и плотность распределения вероятностей
запишется в виде:
Условные плотности вычислим по формулам:
и
,
предварительно вычислив
и
:
и
Тогда
Ответ:
При
При
Плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y) имеет вид:
Определить константу С и вычислить математические ожидания составляющих X и Y, коэффициент корреляции.
Решение. Константу С найдем воспользовавшись свойством плотности распределения вероятности:
или
.
Область
интегрирования ограничена прямыми:
х=0,
х=2
и
y=0,
Y=2.
Поэтому, переходя к повторному интегралу,
получим:
.
Вычислим интеграл в левой части равенства:
Тогда
,
откуда находим
.
Плотность распределения двумерной
случайной величины примет вид:
Математические ожидания составляющих вычислим по формулам:
;
.
Подставив значения плотности и учитывая область интегрирования, получим:
Для выполнения коэффициента корреляции, вычислим в начале дисперсии D(X), D(Y) и корреляционный момент К(X,Y):
,
поскольку подынтегральные выражения и пределы интегрирования такие же, как и при вычислении D(X).
Тогда коэффициент корреляции равен:
Двумерная случайная величина (X, Y) распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R, вершины которого имеют координаты (0;0), (0;2), (2;0), (2;2). Найти плотность вероятностей р(х,у) и функцию распределения F(x,y).
Ответ:
Поверхность распределения системы случайных величин (X, Y) представляет собой полушар с центром в начале координат радиуса R. Найти плотность распределения вероятностей.
Ответ:
Задана дискретная двумерная случайная величина:
|
3 |
6 |
10 |
0,25 |
0,10 |
14 |
0,15 |
0,05 |
18 |
0,32 |
0,13 |
Найти: а) условный закон распределения X, при условии, что у=10;
б) условный закон распределения Y, при условии, что x =10;
в) математическое ожидание, дисперсию, коэффициент корреляции.
Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами О(0;0), А(0;8), В(8,0).
Найти: а) плотность распределения вероятностей;
б) плотность распределения вероятностей составляющих.
Ответ:
а) 
;
при
;
при
;
б)
при
;
при
,
вне указанных интервалов функции равны
нулю.
В продукции завода брак вследствие дефекта М составляет З%, а вследствие дефекта К – 4,5%. Годная продукция составляет 95%. Определить, какой процент всей продукции обладает дефектами обоих типов. Вычислить коэффициент корреляции дефектов М и К.
Ответ:
2,5%;
.