4

Министерство образования Республики Беларусь

Частное учреждение образования

«БИП-Институт правоведения»

Булдык Г.М.

Руководство к решению задач и упражнений

по теории вероятностей и математической статистике

для практической и самостоятельной работы

студентов экономических специальностей

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Минск-2015

УДК 519.2(075.8)

ББК 22.171 я 73

Б90

Рекомендовано к изданию научно-методическим советом института предпринимательской деятельности

Рецензенты: доктор физико-математических наук профессор А.П.Садовский; кандидат физико-математических наук, доцент Ю.Л. Бондарь.

Г.М.Булдык

Б90. Высшая математика. Задачи и упражнения по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. – Мн.: БИП, 2015. – с.

Учебное пособие написано в соответствии с программой курса «Теория вероятностей и математическая статистика» для вузов. Рассмотрены основные теоретические понятия и определения теории вероятностей и математической статистики; приведены примеры решения задач и сформулированы задачи для самостоятельного решения.

Для студентов вузов.

УДК 519.2(075.8)

ББК 22.171 я 73

Булдык Г.М., 2015

Частное учреждение образования «БИП- институт правоведения», 2015 г.

Содержание

Содержание 3

1.1. Случайные события. Вероятность 5

1.2. Свойства вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей 17

1.3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса (теорема гипотез) 24

1.4. Дискретные случайные величины 31

1.5. Законы распределения дискретных случайных величин 37

1.6. Непрерывные случайны величины. 46

1.7. Законы распределения непрерывной случайной величины 52

1.8. Предельные теоремы и закон больших чисел 62

1.9. Двумерные случайные величины 75

1.10. Случайные функции. Цепи Маркова 92

Раздел 2. Математическая статистика. 100

Оценка называется несмещенной оценкой параметра , если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, то есть . Разность называется смещением. 113

Несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности служит среднее арифметическое выборки: 113

Для дискретной случайной величины 113

2. Если и при , то - состоятельная оценка параметра . 113

Литература 190

ответы, указания и решения 191

Предисловие

Студент, начиная знакомиться с теорией вероятностей, сразу сталкивается со многими новыми понятиями, необходимыми для описания изучаемых ситуаций. Эти понятия, а также термины и величины, используемые при их определении, должны быть усвоены, прежде всего. Только в этом случае станет доступной для понимания вся теория вероятностей и математическая статистика, ее значение в экономических приложениях. Единственная причина, по которой студент прекращает изучение предмета, не понимает, о чем идет речь, или просто не в состоянии учиться – это пропущенное слово, значение которого не ясно. Поэтому никогда не пропускайте не осмысленных понятий. Простоя истина о том, что нельзя пропускать непонятные слова, является наиболее важной во всем обучении, в том числе и в самостоятельном.

Во многих доступных для студентов учебных изданиях по теории вероятностей и математической статистики основные понятия, либо даются без строго математического обоснования, либо теряются в обилии формул и символом. Так, например, у студентов понятие вероятности часто ассоциируется только с классическим определением, хотя известно, что современные определения вероятностей основаны на аксиоматическом подходе Колмогорова.

Цель настоящего издания заключается в закреплении основных понятий и определений, используемых в экономических приложениях теории вероятностей и математической статистики при проведении практических и самостоятельных занятий.

Раздел 1. Теория вероятностей

Предметом теории вероятностей является анализ явлений, наблюдения над которыми не всегда приводят к одним и тем же исходам и в то же время обладающими некоторой статистической регулярностью, которая проявляется в статистической устойчивости частот исходов явлений.

Статистическая устойчивость частот делает весьма правдоподобной гипотезу о возможности количественной оценки случайности того или иного события, появляющегося в результате эксперимента. Как правило, эксперимент предпринимается для изучения некоторых свойств интересующих нас экономического процесса или явления. При этом производится построение математической модели эксперимента, которое включает описание:

• возможных исходов (элементарных событий);

• класса рассматриваемых событий;

• вероятностей наступления этих событий.

Современная теория вероятностей основана на аксиоматическом подходе Колмогорова, позволяющем охватить все классические разделы теории вероятностей и дать основу для развития ее новых разделов, вызванных запросами практики.

Одной из важных сфер приложения теории вероятностей является экономика, так как при исследовании и прогнозировании экономических показателей используется эконометрика, опирающаяся на теорию вероятностей. Практическое значение вероятностных методов состоит в том, что они позволяют по известным характеристикам простых случайных явлений прогнозировать характеристики более сложных явлений.