Сферический конденсатор
Сферический конденсатор состоит из двух концентрических металлических обкладок, разделенных слоем диэлектрика.
|
|
|
|
r2 |
r2 |
|
|
Q |
|
|
|
|
Q |
|
|
1 |
|
|
1 |
||||||
|
|
|
|
Edr |
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
r |
|
r |
4 0 r |
|
|
|
|
4 0 r1 |
|
r2 |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как уже было получено ранее, разность потенциалов |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
от центра сферы, при наличии диэлектрика между |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
обкладками, определяется выражением: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Подставив это выражение в определение, электроемкости, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
Q |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||
получим выражение для емкости сферического конденсатора |
1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C 4 |
0 |
|
|
r1r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цилиндрический конденсатор
Цилиндрический конденсатор состоит из двух полых коаксиальных цилиндров,
радиусами r1 и r2 (r2 > rt), вставленных один в другой (имеющих
общую ось вращения).
Если высота цилиндров значительно (более чем в 100 раз) превышает диаметры, можно считать, что в направлении оси вращения цилиндров поле отсутствует.
Значит, поле целиком сосредоточено в направлении, перпендикулярном оси (поле радиально симметрично и сосредоточенно между цилиндрическими обкладками).
Получим выражение для разности потенциалов между обкладками |
|
|
|
|||||||||||
цилиндрического конденсатора при наличии диэлектрика между обкладками |
||||||||||||||
r2 |
r2 |
Q |
|
|
|
r2 |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 Edr 2 rl |
dr 2 r |
dr |
|
|
|
|||||||||
r1 |
r1 |
|
0 |
|
|
r1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
где - линейная плотность заряда. |
2 |
0 |
|
r1 |
2 |
0 |
1 |
|||||||
|
r |
|
ln r |
|||||||||||
Емкость конденсаторов любой формы прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками.
Поэтому применение в качестве прослойки сегнетоэлектриков значительно увеличивает емкость конденсаторов.
Конденсаторы характеризуют напряжением пробоя - разностью потенциалов между обкладками конденсатора,
при которой происходит электрический пробой - разряд через слой диэлектрика в конденсаторе.
Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.
Последовательное и параллельное соединения конденсаторов
Для получения различных возможных значений электроемкости, а также ее варьирования используют различные соединения конденсаторов,
основные из которых - их параллельное и последовательное соединения.
У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна φА- φВ.
Если емкости отдельных конденсаторов С1, С2, ..., Сn, то, заряды
сосредоточенные на каждом конденсаторе равны
Q1 = C1(φА- φВ)
Q2 = C2(φА- φВ)
Q3 = C3(φА- φВ) Qn = Cn(φА- φВ)
а заряд всех конденсаторов, или,
как говорят, конденсаторной батареи |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
Q Qi A B Ci |
|
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
|
|
Полная электроемкость батареи |
|
|
|
|
конденсаторов |
|
|
Q |
n |
При параллельном соединении |
|
|
||
конденсаторов результирующая |
C |
|
Ci |
|
емкость равна сумме емкостей |
A B |
|||
отдельных конденсаторов. |
|
|
i 1 |
|
Последовательное соединение конденсаторов.
При последовательном соединении конденсаторов разность потенциалов на каждом конденсаторе разная и определяется отношением, заряды, индуцированные на каждом конденсаторе, вызваны друг другом и могут быть только равны друг другу.
1 1 2 Q C1
2 2 3 Q C2
n n n 1 Q Cn
Суммарная разность потенциалов батареи конденсаторов равна сумме разностей потенциалов на каждом конденсаторе и равна разности потенциалов, создаваемой источником питания.
i |
Q |
Q 1 |
Q |
|
|
|||
n |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
i 1 |
i 1 Ci |
i 1 Ci |
C |
n 1 |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
C |
Cn |
|
При последовательном соединении конденсаторов для получения результирующей емкости
сначала находят ее обратную величину, последовательно суммируя обратные величины емкостей, конденсаторов, входящих в батарею.
Результирующая емкость батареи конденсаторов С, при последовательном соединении конденсаторов, всегда меньше емкости самого малого конденсатора, используемого в батарее.
Энергия уединенного заряженного проводника.
При сообщении уединенному проводнику некоторого заряда Q вокруг него возникает электростатическое поле и потенциал проводника будет равен
Q
C где С - емкость проводника, Q=Сφ.
Чтобы увеличить заряд проводника на dQ, необходимо совершить работу по перенесению этого заряда из бесконечности на уединенный проводник:
dA = φdQ = φdCφ = Сφdφ.
Эта работа совершается внешними силами, перемещающими заряд против сил электростатического поля проводника.
Она идет на увеличение энергии заряженного проводника.
Работа, которую следует совершить при увеличении потенциала от нуля до
φ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A C d C 2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
C 2 |
|
Q |
|
Q2 |
|
|
Тогда |
энергия заряженного W A |
|
|
||||
|
уединенного проводника |
|
2 |
|
2 |
|
2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Энергия заряженного конденсатора. Если Q - заряд конденсатора, φ= φ1- φ2 -
разность потенциалов между обкладками конденсатора, то для перенесения заряда dQ с одной обкладки на другую внешние силы должны совершить работу
dA 1 2 dQ QdQC
Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от нуля до
Q |
Q |
Q |
QdQ |
Q |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
A dA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
C |
|
|
2C |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Тогда энергия заряженного |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
конденсатора |
|
|
Q2 |
|
|
C 1 2 2 |
|
C 1 |
2 2 |
|
Q 1 2 |
|||||
|
W A 2C |
|
|
2C |
|
|
2 |
|
2 |
|||||||
|
Это выражение отличается от выражения для энергии уединенного |
|||||||||||||||
|
проводника |
|
C 2 |
|
Q |
|
Q2 |
|
|
|
|
|
||||
|
W A |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2C |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
только тем, что для удаленного проводника φ2 = 0,
то есть, как будто, вторая обкладка лежит в бесконечности.
Из выражения энергии конденсатора можно найти кулоновскую силу, с которой пластины конденсатора притягиваются друг к другу.
Такую силу называют пондеромоторной силой.
Предположим, что первоначальное расстояние х между пластинами увеличиваем на dх. При этом приложенная к пластине сила совершает работу dA = Fdx за счет уменьшения потенциальной энергии системы: Fdx = - dW
Подставив в формулу энергии заряженного конденсатора
|
Q2 |
|
C 1 2 2 |
|
C 1 2 2 |
|
Q 1 2 |
||||||||
W A 2C |
|
|
2C |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
0 S |
|
|
|
|
Q2 |
|
Q2 |
|
|
|
|
|
|
выражение |
C d |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
W 2C 2 0 S x |
|
|
||||||||||||
|
получим |
|
|
|
|||||||||||
Производя дифференцирование при |
F |
dW |
F |
dW |
|
Q2 |
|||||||||
конкретном значении энергии, найдем |
|
|
|
|
|
||||||||||
dx |
|
dx |
2 0 S |
||||||||||||
искомую силу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
знак «минус» указывает на то, что сила F является силой |
|
|
|
|
|
||||||||||
притяжения. |
|
|
|
|
|
|
|
F |
Q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, пондеромоторная сила |
|
|
|
2 0 S |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||