5.4 Распределение статистики 2.

Говорят, что случайная величина имеет ²-распределение с r степенями свободы, если её плотность имеет вид

где с_r – некоторая положительная постоянная (определяется из равенства ). Случайная величина, имеющая распределение² с r степенями свободы, будет обозначаться через ²_r.

Величина является случайной, поскольку зависит от результатов наблюдений и, следовательно, в различных сериях опытов принимает различные, заранее не известные значения. Кроме того закон распределения статистики² зависит:

1. от действительного (но не известного нам) закона распределения случайной величины;

2. от количества произведённых наблюдений (числа n) и от способа разбиения числовой оси на промежутки (в частности, от числа l);

3. от теоретического (выдвинутого в качестве гипотезы) закона распределения изучаемой случайной величины (им определяются теоретические вероятности p_i и теоретические частоты ^’_i=np_i).

Если выдвинутая гипотеза верна, то закон распределения статистики ² зависит только от закона распределения измеряемой случайной величины, от числа n и от выбора промежутков разбиения. Но на самом деле в этом случае справедливо куда более сильное утверждение. А именно, при достаточно больших n закон распределения статистики ² практически не зависит ни от закона распределения изучаемой случайной величины, ни от количества n произведённых опытов: при n распределение статистики ² стремится к ²-распределению с r степенями свободы.

Если в качестве предполагаемого выбрано одно из трёх основных непрерывных распределений (нормальное, показательное или равномерное), то r=l – 3, где l – количество промежутков, на которые разбита числовая ось. В общем случае:

r = l – N_пар – 1,

N_пар – количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками.

В нашем случае r = 9 -2 - 1 = 6

5.5. Проверка соответствия выдвинутой гипотезы и опытных данных

Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины соответствует действительности, то эмпирические и теоретические частоты должны быть примерно одинаковы, а значит, значения статистики ² будут группироваться около нуля. Если же выдвинутая гипотеза ложна, то эмпирические и соответствующие теоретические частоты будут существенно разниться, что приведёт к достаточно большим отклонениям от нуля значений ².

Поэтому хотелось бы найти тот рубеж – называемый критическим значением (или критической точкой) и обозначаемый через ²_крит, который разбил бы всю область возможных значений статистики ² на два непересекающихся подмножества: область принятия гипотезы, характеризующуюся неравенством ²<²_крит, и критическую область (или область отвержения гипотезы), определяемую неравенством ²²_крит.

Если выдвинутая гипотеза о законе распределения случайной величины верна, то вероятность попадания значений статистики ² в критическую область должна быть мала, так что событие {²²_крит} должно быть практически неосуществимым в единичном испытании. Эта вероятность, обозначим её через :

P(²²_крит),

называется уровнем значимости.

Чтобы определить критическое значение ²_крит, поступим следующим образом. Зададим какое-либо малое значение уровня значимости  (как правило, 0,05 или 0,01) и найдём ²_крит как корень уравнения Р(²х)= с неизвестной х. Поскольку распределение статистики ² близко при n к ² – распределению с r степенями свободы, то

Р(²х)Р(²_rx)

и приближённое значение ²_крит можно найти из уравнения

Р(²_rх)=  .

Геометрические соображения показывают, что последнее уравнение имеет единственное решение: его корень – это такое число х>0, при котором площадь под графиком функции k_r(t) (плотности ² – распределения) над участком [x; +) равна . На практике решение последнего уравнения находят с помощью специальных таблиц: по двум параметрам – уровню значимости  и числу степеней свободы r находят соответствующее ²_крит.

Если ²_набл²_крит , то гипотезу отвергают, как плохо согласующуюся с результатами эксперимента, если же ²_набл<²_крит , то гипотезу принимают.

l- кол-во промежутков, на которые разбивается числовая ось

r- число степеней свободы

-уровень значимости

(по таблице)

Вывод:

Гипотеза принимается т.к.