5. Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия Пирсона.

1. Группировка исходных данных

Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определённое значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков. Обозначим через _i количество результатов измерений, попавших в i-тый промежуток. Очевидно, что _i=n.

Критерий ² будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:

1. количество n опытов достаточно велико, по крайней мере n100;

2. в каждом промежутке окажется не менее 5…10 результатов измерений, то есть _i5 при любом i; если количество полученных значений в отдельных промежутках мало, то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.

То есть само разбиение имеет вид:

Таким образом, мы приходим к следующему интервальному распределению:

;	;5.5	5.5;7.5	7.5;9.5	9.5;11.5	11.5;13.5	13.5;15.5	15.5;17.5	17.5;19.5	19.5;
	9	9	12	15	21	14	10	8	12

5.2 Вычисление теоретических частот

Критерий Пирсона основан на сравнении эмпирических частот с теоретическими. Эмпирические частоты _i определяются по фактическим результатам наблюдений. Теоретические частоты ^’_i , находят с помощью равенства

^’_i=np_i ,

где n – количество испытаний, а p_iP(z_i-1<x<z_i) – теоретическая вероятность попадания значения случайной величины в i-й промежуток (1il). Теоретические вероятности вычисляются в условиях выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины.

Теоретические вероятности вычисляются по формуле:

выборочная средняя

s- исправленная выборочная дисперсия

12,5

i
1		5,5	-	-1,39	-0,5	-0,41	0,09	9,9
2	5,5	7,5	-1,39	-0,99	-0,41	-0,34	0,07	7,7
3	7,5	9,5	-0,99	-0,59	-0,34	-0,22	0,12	13,2
4	9,5	11,5	-0,59	-0,19	-0,22	-0,07	0,15	16,5
5	11,5	13,5	-0,19	0, 21	-0,07	0,08	0,15	16,5
6	13,5	15,5	0,21	0,59	0,08	0,21	0,13	14,3
7	15,5	17,5	0,59	0,99	0,21	0,34	0,13	14,3
8	17,5	19,5	0,99	1,19	0,34	0,36	0,02	2,2
9	19,5		1,19		0,36	0,5	0,14	15,4
					∑:		1	110

5.3 Статистика ² и вычисление её значения по опытным данным.

В критерии Пирсона в качестве меры расхождения теоретического и статистического распределения используется величина

,

называемая статистикой “хи-квадрат” или статистикой Пирсона (статистикой называют любую функцию от результатов наблюдений ). Ясно, что всегда ²0, причём ²=0 тогда и только тогда, когда _i=^’_i при каждом i, то есть когда все соответствующие эмпирические и теоретические частоты совпадают. Во всех остальных случаях ² 0; при этом значение ² тем больше, чем больше различаются эмпирические и теоретические частоты.

i
1		5,5	-	-1,39	-0,5	-0,41	0,09	9,9
2	5,5	7,5	-1,39	-0,99	-0,41	-0,34	0,07	7,7
3	7,5	9,5	-0,99	-0,59	-0,34	-0,22	0,12	13,2
4	9,5	11,5	-0,59	-0,19	-0,22	-0,07	0,15	16,5
5	11,5	13,5	-0,19	0, 21	-0,07	0,08	0,15	16,5
6	13,5	15,5	0,21	0,59	0,08	0,21	0,13	14,3
7	15,5	17,5	0,59	0,99	0,21	0,34	0,13	14,3
8	17,5	19,5	0,99	1,19	0,34	0,36	0,02	2,2
9	19,5		1,19		0,36	0,5	0,14	15,4
						∑:	1	110

1	9	9,9	0,08
2	9	7,7	0,21
3	12	13,2	0,11
4	15	16,5	0,13
5	21	16,5	1,2
6	14	14,3	0,006
7	10	14,3	1,3
8	8	2,2	15,2
9	12	15,4	0,75
	110	110	18,98