3. Выдвижение гипотезы о распределении случайной величины

а) Нормальное (или гауссовское) распределение с параметрами «а» и «», где

б) Показательное (или экспоненциальное) распределение с параметрами и , где ,

при

при

в) Равномерное распределение на отрезке [А; В], где

при

при x<A и x>B

Сравнение построенной гистограммы и графиков плотностей основных распределений приводит к заключению о том, что изучаемая случайная величина имеет показательное распределение.

4. Построение графика теоретической плотности распределения

при

при

По исходным данным варианта была выдвинута гипотеза о показательном распределении изучаемой случайной величины. Найдем параметры этого распределения:

Следовательно плотность предполагаемого распределения задаётся формулой:

Теперь необходимо вычислить значения теоретической плотности f(x) при x=x₀ (т.е. значение «в параметре сдвига») и при x=x_i , где x_i > x₀

(т.е. значения в серединах интервалов, больших x₀). Для этого воспользуемся следующей схемой:

xj	uj=(xj- x0)	e-uj	f(xj)= e-uj
1,8	0,00	1,0000	0,1085
2	0,02	0,9802	0,1064
6	0,46	0,6313	0,0685
10	0,89	0,4107	0,0446
14	1,32	0,2672	0,0290
18	1,76	0,1720	0,0187
22	2,19	0,1119	0,0121
26	2,63	0,0721	0,0078
30	3,06	0,0469	0,0050
34	3,49	0,0305	0,0033
38	3,93	0,0197	0,0021
42	4,36	0,0128	0,0014

На одном чертеже строим гистограмму и график теоретической плотности распределения:

5. Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона.

Группировка исходных данных

		4;8	8;12	12;16	16;20	20;24	24;28
	39	34	25	12	12	9	6	10

Вычисление теоретических частот

-теоретические частоты

Т.к. принята гипотеза о показательном распределении с.в., то теоретическая вероятность вычисляется по одной из следующих формул в зависимости от взаимного расположения i-ого промежутка и числа x₀:

n=150; =0,1085; x₀=1,8

i	Концы промежутков
1		4	0	0,2387	1	0,7877	0,2123	31,845
2	4	8	0,2387	0,6727	0,7877	0,5103	0,2774	41,61
3	8	12	0,6727	1,1067	0,5103	0,3307	0,1796	26,94
4	12	16	1,1067	1,5407	0,3307	0,2143	0,1164	17,46
5	16	20	1,5407	1,9747	0,2143	0,1388	0,0755	11,325
6	20	24	1,9747	2,4087	0,1388	0,0899	0,0489	7,335
7	24	28	2,4087	2,8427	0,0899	0,0583	0,0316	4,74
8	28		2,8427		0,0583	0	0,0583	8,745

Статистика и вычисление её значения по опытным данным

Для того чтобы принять или отвергнуть гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины, в каждом из критериев согласия рассматривается некоторая величина, характеризующая степень расхождения теоретического и статистического распределений.

В критерии Пирсона в качестве такой меры расхождения используется величина

, называемая статистикой.

i
1	39	31,845	1,6076
2	34	41,61	1,3918
3	25	26,94	0,1397
4	15	17,46	0,3466
5	12	11,325	0,0402
6	9	7,335	0,3779
7	6	4,74	0,3349
8	10	8,745	0,1801

 150 150 4,42

Распределение статистики

Случайная величина имеет χ²-распределение с r степенями свободы (r=1; 2;3; …) , если ее плотность имеет вид

k_r(x)

где c_r – некоторая положительная постоянная (c_r определяется из равенства ). Случайная величина, имеющая распределение χ² с r степенями свободы, будет обозначаться через χ²_r.

Распределение χ² определяется одним параметром – числом r степеней свободы и существуют таблицы, позволяющие приближенно найти вероятность попадания значений случайной величины χ² в любой промежуток.

является случайной величиной, поскольку зависит от результатов наблюдений и, следовательно, в различных сериях опытов принимает различные, заранее не известные значения.

Закон распределения статистики χ² зависит:

1. от действительного (но неизвестного нам) закона распределения случайной величины, измерения которой осуществляются (им определяются эмпирические частоты ν_i);

2. от количества произведенных наблюдений (в частности, от числа n);

3. от теоретического (выдвинутого в качестве гипотезы) закона распределения изучаемой случайной величины (им определяются теоретические вероятности p_i и теоретические частоты ν'_i=n·p_i).

Если выдвинутая гипотеза верна, то, очевидно, закон распределения статистики χ² зависит только от закона распределения измеряемой случайной величины, от числа n и от выбора промежутков разбиения. Но на самом деле, в этом случае (благодаря подобранному Пирсоном выражению для χ²) справедливо куда более сильное утверждение. А именно, при достаточно больших n закон распределения статистики χ² практически не зависит ни от закона распределения изучаемой случайной величины и ни от количества n произведенных опытов: при n распределение статистики χ² стремится к χ²- распределению с r степенями свободы. Эта теорема объясняет, почему статистика Пирсона обозначается через χ².

Если в качестве предполагаемого выбрано одно из трех основных непрерывных распределений (нормальное, показательное или равномерное), то r=l-3, где l – количество промежутков, на которые разбита числовая ось (количество групп опытных данных). В общем случае

r=i-Nпар-1=8-2-1=5,

Nпар – количество параметров предполагаемого распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками.

Вывод о соответствии выдвинутой гипотезы и опытных данных

Назначение величины	Обозначение и числовое значение величины
Уровень значимости (задан в условии)
Количество промежутков разбиения	i=8
Число степеней свободы	r=5
Критическое значение (находится в таблице)
Наблюдаемое значение критерия
Вывод	гипотеза (о показательном распределении) верна, поскольку