2.Нахождение точечных оценок математического ожидания и

дисперсии.

В качестве точечных оценок числовых характеристик изучаемой случайной величины используются:

• для математического ожидания

= (выборочная средняя),

• для дисперсии

s² = (исправленная выборочная),

где n– объём выборки,n_i– частота значенияx_i .

Таким образом, в статистических расчетах используют приближенные равенства

MX ,DXs².

Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии по данным варианта осуществим с помощью расчетной таблицы.

i	xi	ni	xi ni	xiwi	(xi - )2 ni
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	2.2 4.2 6.2 8.2 10.2 12.2 14.2 16.2 18.2 20.2 22.2	5 9 16 23 25 30 22 20 16 8 6	11 37.8 99.2 188.6 255 366 312.4 324 291.2 161.6 133.2	0,06 0,21 0,55 1,05 1,42 2,03 1,74 1,8 1,62 0,9 0,74	491,04 312,84 174,64 76,44 18,24 0,04 21,84 83,64 185,44 327,44 509,04

= = 12,11

s²= =

= 2200,45*1/180=12,22

 : 180 956 12,11 2200,45

3.Выдвижение гипотезы о распределении случайной величины.

При выдвижении гипотезы (предположения) о законе распределения изучаемой случайной величины мы опираемся лишь на внешний вид статистического распределения. Т.е. будем руководствоваться тем, что профиль графика плотности теоретического распределения должен соответствовать профилю гистограммы: если середины верхних сторон прямоугольников, образующих гистограмму, соединить плавной кривой, то эта линия представляет в первом приближении график плотности распределения вероятностей.

Итак, изобразим график и выпишем формулу плотности нормального (или гауссовского) распределения с параметрами а и , - а+,

Сравнение построенной гистограммы и графика плотности распределения приводит к следующему заключению о предполагаемом (теоретическом) законе распределения в рассматриваемом варианте исходных данных:

Вариант 9 – нормальное (или гауссовское распределение)

4.Построение графика теоретической плотности распределения.

Чтобы выписать плотность теоретического (предполагаемого) распределения, нужно определить значения параметров и а и подставить их в соответствующую формулу. Все параметры тесно связаны с числовыми характеристиками случайной величины, т.е.

MX= а ,

DX=

Поскольку значения математического ожидания и дисперсии неизвестны, то их заменяют соответствующими точечными оценками, т.е. используют (уже упомянутые ранее) приближенные равенства MX ,DXs², что позволяет найти значения параметров распределения.

По исходным данным была выдвинута гипотеза о нормальном распределении изучаемой случайной величины. Найдем параметры этого распределения:

_

x= а, 12,11=а, а=12,11,

s²=12,22=σ=3,5

Следовательно, плотность предполагаемого распределения задается формулой

F(x)= [1/(7.54*√2π)]*e^[-(x-12.11)^2/2*(3.5)^2)]=0.053*e^(24,5/((x-12,11)^2))

Теперь необходимо вычислить значения f(x_i) плотности f (x) приx=x_i(в серединах интервалов) Для этого воспользуемся следующей схемой:

значения фунцкии

при u=u_iнаходятся, например, с помощью таблицы, имеющейся в любом учебнике или задачнике по теории вероятностей и математической статистике.

xi		Φ(ui)
2.2 4.2 6.2 8.2 10.2 12.2 14.2 16.2 18.2 20.2 22.2	-2.83 -2.26 -1.69 -1.12 -0.55 0.03 0.60 1.17 1.74 2.31 2.88	0,4977 0,4881 0,4545 0,3686 0,2088 0,0120 0,2257 0,3790 0,4591 0,4896 0,4980	0,1422 0,1395 0,1299 0,1053 0,0597 0,0034 0,0645 0,1083 0,1312 0,1399 0,1423

Далее, на одном чертеже строим гистограмму и график теоретической плотности распределения: гистограмма была построена ранее, а для получения графика плотности наносим точки с координатами (x_i ; f(x_i))и соединяем их плавной кривой.