Курсовая по теории вероятности. Вариант №22

Вариант № 22

6;8	8;10	10;12	12;14	14;16	16;18	18;20
41	36	24	17	13	10	7

20;22	22;24	24;26	26;28
5	3	2	2

1. Построение интервального и точечного статистических распределений результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот.

i– порядковый номер;

I_i– интервал разбиения;

x_i– середина интервалаI_i;

n_i– частота (количество результатов наблюдений, принадлежащих данному интервалуI_i);

w_i= - относительная частота (n=- объём выборки);

H_i= - плотность относительной частоты (h– шаг разбиения, т.е. длина интервалаI_i).

i	Ii	xi	ni	wi	Hi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	6;8 8;10 10;12 12;14 14;16 16;18 18;20 20;22 22;24 24;26 26;28	7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27	41 36 24 17 13 10 7 5 3 2 2	0,25625 0,225 0,15 0,10625 0,08125 0,0625 0,04375 0,03125 0,01875 0,0125 0,0125	0,128125 0,1125 0,075 0,053125 0,040625 0,03125 0,021875 0,015625 0,009375 0,00625 0,00625

Объём выборки:

n ==160,

w_i = ;

контроль: =1

Длина интервала

разбиения (шаг):

h = 2 ,

H_i =

 : 160 1,00

Статистическим распределениемназывается соответствие между результатами наблюдений (измерений) и их частотами и относительными частотами.Интервальное распределение– это наборы троек (I_i ; n_i ; w_i) для всех номеровi, аточечное– наборы троек (x_i ; n_{i ;} w_i). Таким образом, в таблице имеются оба – и интервальное, и точечное - статистическое распределения.

Далее, строим полигон и гистограмму относительных частот.

Полигон.

Гистограмма.

Полигон относительных частот – ломаная, отрезки которой последовательно (в порядке возрастания x_i) соединяют точки (x_i ; w_i).Гистограмма относительных частот – фигура, которая строится следующим образом: на каждом интервале I_i, как на основании, строится прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте w_i; отсюда следует, что высота этого прямоугольника равна H_i = ^w_i/h – плотности относительной частоты. Полигон и гистограмма являются формами графического изображения статистического распределения.

2.Нахождение точечных оценок математического ожидания и

дисперсии.

В качестве точечных оценок числовых характеристик изучаемой случайной величины используются:

• для математического ожидания

= (выборочная средняя),

• для дисперсии

s² = (исправленная выборочная),

где n– объём выборки,n_i– частота значенияx_i .

Таким образом, в статистических расчетах используют приближенные равенства

MX  , DX s² .

Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии по данным варианта осуществим с помощью расчетной таблицы.

i	xi	ni	xi ni	(xi - )2 ni
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27	41 36 24 17 13 10 7 5 3 2 2	287 324 264 221 195 170 133 105 69 50 54	905,69 262,44 11,76 28,73 141,57 280,9 373,03 432,45 383,07 353,78 468,18

= = = 11,7

s²= = =

= = 22,9

 : 160 1872 3641,6

3.Выдвижение гипотезы о распределении случайной величины.

При выдвижении гипотезы (предположения) о законе распределения изучаемой случайной величины мы опираемся лишь на внешний вид статистического распределения. Т.е. будем руководствоваться тем, что профиль графика плотности теоретического распределения должен соответствовать профилю гистограммы: если середины верхних сторон прямоугольников, образующих гистограмму, соединить плавной кривой, то эта линия представляет в первом приближении график плотности распределения вероятностей.

Итак, изобразим график и выпишем формулу плотности показательного (экспонециального) распределения с параметрами λ и , где λ>0, - +,

x

Сравнение построенной гистограммы и графика плотности распределения приводит к следующему заключению о предполагаемом (теоретическом) законе распределения в рассматриваемом варианте исходных данных:

Вариант № 22 – показательное распределение.

4.Построение графика теоретической плотности распределения.

Чтобы выписать плотность теоретического (предполагаемого) распределения, нужно определить значения параметров λии подставить их в соответствующую формулу. Все параметры тесно связаны с числовыми характеристиками случайной величины, т.е.

MX= ,

DX=

Поскольку значения математического ожидания и дисперсии неизвестны, то их заменяют соответствующими точечными оценками, т.е. используют (уже упомянутые ранее) приближенные равенства MX ,DXs², что позволяет найти значения параметров распределения.

По исходным данным была выдвинута гипотеза о нормальном распределении изучаемой случайной величины. Найдем параметры этого распределения:

, , =11,7-=11,7-4,78=6,92

s²= ==0,21

Следовательно, плотность предполагаемого распределения задается формулой

f (x)=.приx≥ 6,92

0 приx< 6,92

Теперь необходимо вычислить значения теоретической плотности f (x) при (то есть значение в «параметре сдвига») и при , где>(то есть значения в серединах интервалов, больших) . Для этого воспользуемся следующей схемой(нижеили, где>:

=0,21 (x-6,.92);

λ= 0,21; x = 6,92

x
6,92 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27	0,00 0,01 0,43 0,85 1,27 1,69 2,11 2,53 2,95 3,37 3,79 4,21	1,0000 0,9900 0,6505 0,4274 0,2808 0,1845 0,1212 0,0797 0,0523 0,0344 0,0226 0,0148	0,2100 0,2079 0,1366 0,0897 0,0589 0,0387 0,0254 0,0167 0,0109 0,0072 0,0047 0,0031

Далее, на одном чертеже строим гистограмму и график теоретической плотности распределения: гистограмма была построена ранее, а для получения графика плотности наносим точки с координатами (x ; f(x))и соединяем их плавной кривой.

5.Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона.

Ранее была выдвинута гипотеза о законе распределения рассматриваемой случайной величины. Сопоставление статистического распределения (гистограмма) и предполагаемого теоретического (графика плотности) показывает наличие некоторых расхождений между ними. Поэтому возникает естественный вопрос: чем объясняются эти несовпадения? Ответить на него можно двояко:

1. Указанные расхождения несущественны и вызваны ограниченным количеством наблюдений и случайными факторами – случайностью результата единичного наблюдения, способа группировки данных и т.п. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении считается правдоподобной и принимается как не противоречащая опытным данным.

2. Указанные расхождения являются существенными (неслучайными) и связаны с тем, что действительное распределение случайной величины отличается от предполагаемого. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении отвергается как плохо согласующаяся данными наблюдений.

Для выбора первого или второго варианта ответа и служат так называемые критерии согласия. Словари толкуют слово критерий (от греч. kriterion– средство для суждения) как признак, на основании которого производится оценка, определение и классификация чего-либо.

Существуют различные критерии согласия: К. Пирсона, А.Н. Колмогорова, Н.В. Смирнова, В.И. Романовского и другие. Мы рассмотрим лишь один из них – критерий Пирсона, называемый также критерием ²(«хи - квадрат»). (К. Пирсон (1857 - 1936) – английский математик, биолог, философ – позитивист.)

Критерий Пирсона выгодно отличается от остальных, во – первых, применимостью к любым (дискретным, непрерывным) распределениям и, во – вторых, простотой вычислительного алгоритма.

Правило проверки статистических гипотез с помощью критерия Пирсона будет объяснено на примерах.

1. Группировка исходных данных.

Применяется критерий Пирсона к сгруппированным данным. Предположим, что произведено nнезависимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определенное значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков (интервалов и полуинтервалов). Обозначим через_I (- греческая буква «ню») количество результатов измерений (значений случайной величины), попавших вi-й промежуток. Очевидно, что_I=n.

Отметим, что критерий ² будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:

1. количество nопытов достаточно велико, по крайней мереn100;

2. в каждом промежутке окажется не менее 5…10 результатов измерений, т.е. _i5 при любомi; если количество полученных значений в отдельных промежутках мало (меньше 5), то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.

Пусть концами построенного разбиения являются точки z_i, гдеz₁z₂…z_{i – 1}, т.е. само разбиение имеет вид

(-   z₀; z₁) ,  z₁; z₂) ,  z₂; z₃) , … ,  z_{i – 1}; z_i   ).

После объединения соответствующих промежутков (последних двух) и замены самой левой границы разбиения на - , а самой правой на +(поскольку на промежутки должна разбиваться вся числовая ось, а не только диапазон полученных в результате опыта значений), мы приходим к следующим интервальным распределениям, пригодным для непосредственного применения критерия Пирсона:

zi –1; zi	- ; 8	8;10	10;12	12;14	14;16	16;18
i	41	36	24	17	13	10

18;20	20;22	22;+
7	5	7

2. Вычисление теоретических частот.

Критерий Пирсона основан на сравнении эмпирических (опытных) частот с теоретическими. Эмпирические частоты _Iопределяются по фактическим результатам наблюдений. Теоретические частоты, обозначаемые далее, находятся с помощью равенства

= n  p_i ,

где n– количество испытаний, аp_i z_{i –1}xz_i- теоретическая вероятность попадания значений случайной величины вi-й промежуток (1i1).Теоретические вероятности вычисляются в условиях выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины.

В данном варианте принята гипотеза о показательном распределении случайной величины. В этом случае теоретическая вероятность pпри любомiвычисляется по одной из следующих трёх формул ( в зависимости от взаимного расположенияi-го промежутка и числаx):

p=0, если≤x(то естьi-й промежуток расположен левееx);

p=1-, еслиz_{i –1}xz_i (то есть i-й промежуток содержитx);

p=-, еслиxz_{i –1}(то естьi-й промежуток расположен правееx).

Процедура отыскания теоретических вероятностей и частот показана в расчетной таблице:

n = 160; λ= 0,21; x= 6,92

i	Концы промежутков		(при xzi –1)	(при xzi )			P=-	=npi
	zi -1	zi
1 2 3 4 5 6 7 8 9	 8 10 12 14 16 18 20 22	8 10 12 14 16 18 20 22 +	0,00 0,22 0,64 1,06 1,48 1,90 2,32 2,74 3,16	0,22 0,64 1,06 1,48 1,90 2,32 2,74 3,16 +	1,0000 0,8025 0,5273 0,3465 0,2276 0,1496 0,0983 0,0646 0,0424	0,8025 0,5273 0,3465 0,2276 0,1496 0,0983 0,0646 0,0424 0,0000	0,1975 0,2752 0,1808 0,1189 0,078 0,0513 0,0337 0,0222 0,0424	31,6 44,032 28,928 19,024 12,48 8,208 5,392 3,552 6,784

:1,0000 160,00

3. Статистика ² и вычисление ее значения по опытным данным.

Для того чтобы принять или отвергнуть гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины, в каждом из критериев согласия рассматривается некоторая (специальным образом подбираемая) величина, характеризующая степень расхождения теоретического (предполагаемого) и статистического распределения.

В критерии Пирсона в качестве такой меры расхождения используется величина

,

называемая статистикой «хи - квадрат» или статистикой Пирсона(вообще, статистикой называют любую функцию от результатов наблюдений). Ясно, что всегда² , причем²= 0, тогда и только тогда, когдапри каждомi, т.е. когда все соответствующие эмпирические и теоретические частоты совпадают. Во всех остальных случаях²; при этом значение²тем больше, чем больше различаются эмпирические и теоретические частоты.

Прежде чем рассказать о применении статистики ²к проверке гипотезы о закон е распределения , вычислим ее значение для данного варианта; это значение, найденное по данным наблюдений и в рамках выдвинутой гипотезы, будем обозначать через²_набл..

i	i
1 2 3 4 5 6 7 8 9	41 36 24 17 13 10 7 5 7	31,6 44,032 28,928 19,024 12,48 8,208 5,392 3,552 6,784	2,80 1,46 0,84 0,21 0,02 0,39 0,48 0,60 0,01

: 160 160 6,81

²_набл. = 6,81