Глава 6 Инвариантные самонастраивающиеся системы

1. Общие положения теории инвариантности

В настоящее время высококачественные системы автоматического управления создаются, как правило, на основе принципа инвариантности, т. е. независимости к любым внешним воздействиям [2, 22]. Для теории инвариантности основными являются задачи исследования систем при минимальной априорной информации относительно внешних воздействий и помех. При этом основной целью является создание такой структуры системы и определение значений её параметров, при которых влияние внешних возмущений произвольного вида практически бы не сказывались на протекании переходных процессов в системе.

На рис. 6.1 показана структурная схема системы с регулированием по отклонению.

Рисунок 6.1 Структурная схема системы регулирования по отклонению

На рис. 6.1 приняты следующие обозначения:

X(p) - управляющее воздействие;

Y(p) - выходной сигнал;

F(p) - возмущение;

E(p), Z(p), U(p) - промежуточные сигналы в системе управления;

W1(p) - передаточная функция объекта управления;

W2(p) - передаточная функция по каналу возмущения;

W3(p) - передаточная функция регулятора;

W4(p) - передаточная функция звена обратной связи.

Уравнения системы можно записать в следующем виде:

E(p) = X(p) – W4(p) Y(p);

Z(p) = W3(p) E(p);

U(p) = W1(p) Z(p) ;

Y(p) = U(p) + W2(p) F(p). (6.1)

Опуская промежуточные преобразования, связанные с исключением промежуточных переменных, можно записать:

Y(p)=W1(p)W3(p)X(p)/(1+W1(p)W3(p)W4(p))+

+W2(p)F(p)/(1+W1(p)W3(p)W4(p)). (6.2)

Из выражения (6.2) следует, что для независимости регулируемой величины Y(p) от возмущающего воздействия F(p) необходимо, чтобы передаточная функция W2(p) была равна нулю, что в общем случае означает, что нет никакой связи между системой и возмущением. При W2(p) ≠ 0 система инвариантной быть не может.

Введем в систему дополнительную связь, подав возмущение F(p) через блок с передаточной функцией W5(p) на вход системы, как это показано на рис. 6.2.

Рисунок 6.2 Структурная схема системы регулирования комбинированного

типа

При тех же обозначениях остальных блоков, что и на рис. 6.1, имеем следующую систему уравнений:

E(p) = X(p) – R(p) - W4(p) Y(p)= X(p) – W5(p)F(p) – W4(p)Y(p);

Z(p) = W3(p) E(p);

U(p) = W1(p) Z(p) ;

Y(p) = U(p) + W2(p) F(p). (6.3)

Опуская промежуточные вычисления, можно записать:

Y(p)=W1(p)W3(p)X(p) /M(p) + (W2(p) – W1(p)W3(p)W5(p))F(p) / M(p), (6.4)

где M(p)=1+W1(p)W3(p)W4(p).

Из выражения (6.4) следует, что выходная величина Y(p) не будет зависеть от возмущения F(p) при выполнении условия

W2(p) – W1(p)W3(p)W5(p)=0 ,

или W5(p) = W2(p) / W1(p)W3(p). (6.5)

Из анализа выражения (6.5) видно, что даже при инерционных звеньях W2(p) и W1(p) могут быть удовлетворены условия абсолютной инвариантности. Однако надо иметь в виду, что если регулятор и объект являются инерционными звеньями с передаточными функциями

W3(p) и W1(p), а W2(p) =1, то удовлетворить условие абсолютной инвариантности не удаётся. В таком случае соотношение W5(p) = 1 / W1(p)W3(p) физически нереализуемо.

6.2 Инвариантность за счёт большого коэффициента усиления

В системах автоматического регулирования часто необходимо сохранять динамические свойства независимо от внешних условий. Например, для обеспечения Y(t) = Y(t) _жел в системе, показанной на рис. 6.3[2], необходимо, чтобы контур, образованный звеньями W1(p), W2(p) и звеном рассогласования 2, имел передаточную функцию W(p)_инв =1. Этот контур имеет передаточную функцию

W(p)_инв = W1(p)W2(p) / (1+W1(p)W2(p) ). (6.6)

Предположим, что регулятор W2(p) имеет достаточно большой коэффициент усиления, так что W1(p)W2(p)>>1. Тогда из выражения (6.6) следует, что W(p)_инв ≈ 1. В этом случае условием инвариантности будет

W2(p)>> 1 / W1(p ). (6.7)

В общем случае такое условие может оказаться физически не реализуемым, поскольку обычно необходимо формировать дифференцирующие звенья высоких порядков.

Рисунок 6.3 Структурная схема инвариантной системы

На рис. 6.3 приняты следующие обозначения:

Х(t) и Y(t) – входной и выходной сигналы;

W1(p) – желаемая передаточная функция;

W2(p) – передаточная функция регулятора;

W3(p) – передаточная функция объекта;

Е – ошибка рассогласования;

1 и 2 – элементы рассогласования;

F(t) – возмущение.

В этом случае рекомендуется поступать следующим образом. Предположим, что передаточная функция объекта имеет вид W1(p)= R_m(p)/ Q_n(p), где n>m. Тогда обратная передаточная функция регулятора q_n (p) / r_m (p) не реализуема.

Заменим её функцией вида

q_n (p) / r_m (p)s_k(p), (m+k ≥ n). (6.8)

При k = n – m + 1 передаточная функция (6.9) практически реализуема.

Таким образом, инвариантная система должна:

1. Иметь структурную схему системы комбинированного типа.

2. Иметь два канала распространения возмущения.

3. Удовлетворять условиям инвариантности (6.5) и (или) (6.8).

Для контроля выполнения условий инвариантности можно вычислять корреляционную функцию K_yf между величинами F(t) и Y(t). При нарушении условий инвариантности возникает неравенство K_yf ≠0. в результате возникает сигнал, с помощью которого можно восстановить инвариантность в системе, изменяя параметры соответствующих звеньев.

Кроме того, должно выполняться согласование быстродействия контура самонастройки и основного контура. Если время отработки контура самонастройки существенно меньше времени изменения возмущения F(t), то можно получить практически или полностью инвариантную систему.

3. Обеспечение инвариантности за счёт внешнего компенсирующего

воздействия

Рассмотрим вопрос осуществления инвариантности на примере одноконтурной системы с одним возмущающим воздействием (рис. 6.4).

Рисунок 6.4 Инвариантная система с компаундирующими связями

На рис. 6.4 приняты следующие обозначения:

x(t) и y(t) – входной и выходной сигналы;

Wо1(p) – передаточная функция объекта по основному каналу;

Wо2(p) – передаточная функция объекта по возмущению и основному каналу;

Wr(p) – передаточная функция регулятора;

f(t) – возмущение;

g(t) – компенсирующее воздействие;

Wkf(p) – передаточная функция по возмущению в компенсирующем канале;

Wkg(p) - передаточная функция по компенсирующему воздействию;

R(t), S(t), T(t), U(t), Z(t) – промежуточные сигналы в системе.

Система уравнений, описывающая схему на рис. 6.4, имеет вид

R(p) = X(p) – Y(p) – G(p) Wkg(p);

S(p) = R(p)Wr(p);

T(p) = S(p) – F(p)Wkf(p);

U(p) = T(p)Wo1(p);

Z(p) = U(p)+F(p);

Y(p) = Z(p)Wo2(p).

Опуская промежуточные вычисления, можно записать общее уравнение, описывающее поведение системы:

Y(p) [1+Wr(p)Wo1(p)Wo2(p)]=X(p)Wr(p)Wo1(p)Wo2(p) -

- G(p)Wkg(p)Wr(p)Wo1(p)Wo2(p)+F(p)[1 – Wkf(p)Wo2(p)]. (6.9)

Из (6.9) следует, чтобы выходной сигнал Y(p) не зависел от возмущения F(p), необходимо выполнение условия

1 – Wkf(p)Wo2(p)=0 при G(p)=0. (6.10)

Если условие (6.10) трудно выполнимо или вообще невыполнимо, необходимо, чтобы выполнялось условие

G(p)Wkg(p)Wr(p)Wo1(p)Wo2(p)+F(p)[1–Wkf(p)Wo2(p)]=0. (6.11)

Отсюда компенсирующий сигнал

G(p)=F(p)[1 – Wkf(p)Wo2(p)] / Wkg(p)Wr(p)Wo1(p)Wo2(p). (6.12)

Из выражения (6.12) следует, что необходимо иметь возможность измерять возмущающее воздействие f(t) . В этом случае при наличии его изображения F(p) можно определить компенсирующее воздействие G(p) по выражению (6.13), если известны все передаточные функции. При отсутствии возмущения (F(p)=0) компенсирующий сигнал G(p) также равен 0.