Глава 6 Инвариантные самонастраивающиеся системы……………………..62

1. Общие положения теории инвариантности……………………………...62

2. Инвариантность за счёт большого коэффициента усиления…………...64

3. Обеспечение инвариантности за счёт внешнего

компенсирующего воздействия…………………………………………..66

Глава 8 Самонастраивающиеся системы с моделями……………………….68

1. Варианты использования моделей в

самонастраивающихся системах……………………………………….68

2. Системы с моделью в контуре основной системы………………………68

3. Определение динамических характеристик объекта управления…….. 70

4. Самонастраивающиеся системы с подстраиваемой моделью в

канале самонастройки…………………………………………………….70

5. Самонастраивающиеся системы с эталонной моделью

и вычисляемыми параметрами основной системы …………………….72

6. Системы с эталонной моделью и каналом самонастройки,

охватывающим часть основной системы………………………………..73

Заключение……………………………………………………………………….75

Литература………………………………………………………………………..76

Введение

В учебном пособии приводятся сведения, являющиеся по сути дела дополнением к основному курсу «Теория автоматического управления», читаемому студентам специальности «Автоматизация технологических процессов и производств» на младших курсах, а также студентам других специальностей в объёмах дисциплин по автоматизации производственных процессов.

Кратко изложены основные положения, позволяющие будущим практическим специалистам и научным работникам успешно справляться с задачами анализа и синтеза адаптивных, в том числе самонастраивающихся систем. Применение адаптивных систем позволяет создавать системы регулирования, реализующие на выходе требуемые показатели качества автоматически, без участия оператора. Работа таких систем реализуется с помощью алгоритмов, позволяющих самостоятельно поддерживать на выходе объекта регулирования оптимальное значение показателя качества.

Учебное пособие может быть полезно аспирантам и специалистам других технологических дисциплин, при рассмотрении вопросов, связанных с необходимостью применения самонастраивающихся систем автомати-ческого управления.

Глава 1 Пространство состояний, наблюдаемость,

идентифицируемость, управляемость, адаптируемость

1.1 Понятие пространства состояний

Понятие состояния физической системы реального процесса не поддается общему определению, поскольку для каждого конкретного реального процесса или системы оно различно, а общие определения сводятся к синонимам.

В теории автоматического управления мы имеем дело с математическими моделями объектов, процессов и систем. Состояние таких моделей объектов, процессов и систем поддается общему определению в математических терминах [1].

Математическая модель отражает в той или иной мере свойства реальной системы, в том числе ограничения, существующие в реальных условиях. Состояние математической модели объекта, системы или процесса может быть представлено в виде элемента х множества возможных состояний Х. При этом определяющим является обстоятельство, чтобы элемент x Х характеризовал рассматриваемое состояние объекта, системы или процесса полностью и однозначно. Множество Х можно рассматривать как пространство состояний объекта, системы или процесса. В математике пространством называют множество, в котором задано соотношение между любыми его элементами, характеризующими «близость» между ними.

Так, метрическим пространством называется множество Х, в котором задано расстояние между двумя элементами x Х, y Х в виде действительной функции ρ(x,y), удовлетворяющей условиям:

1. ρ(x,y)=0 тогда и только тогда, когда x = y,

2. ρ(x,y)=ρ(y,x) (аксиома симметрии),

3. ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(x,z) (аксиома треугольника). (1.1)

Пространство состояний в теории управления используется для исследования устойчивости, оптимизации и т.п. Во всех этих случаях необходимо введение метрики, то есть определение расстояния в этом пространстве. Для определения устойчивости невозмущенного состояния естественно рассматривать расстояния между невозмущенным и возмущенным состояниями. При оптимизации необходимо введение критерия, который, как правило, включает в себя расстояние в метрическом пространстве.

Пространством состояний называется метрическое пространство, каждый элемент которого полностью определяет состояние рассматриваемой системы (процесса).

Пространство состояний применяется как при описании автономных систем и процессов, не взаимодействующих с другими процессами и системами, в частности, с внешней средой, так и для систем, и процессов, в которых такое взаимодействие существует. В последнем случае необходимо введение дополнительных множеств, таких, как множество управлений с элементами u U, множество возмущающих воздействий с элементами w W. Эти множества также могут представлять собой метрические пространства с различными метриками.

Кроме того, каждая система, рассматриваемая в пространстве состояний x Х, обычно может быть подразделена на подсистемы, как правило, взаимосвязанные. Пространство Х может быть в этом случае представлено в виде суммы субпространств состояний, обычно взаимосвязанных и являющихся по существу сечениями пространства Х. Состояние системы полностью определяет лишь совокупность элементов всех указанных субпространств Х₍₁₎, Х₍₂₎ ,…, Х_(q), т. е. элемент полного пространства состояний: x Х = Х₍₁₎, U Х₍₂₎,… U Х_(q).

Элементами пространства состояний могут быть конечные упорядоченные совокупности действительных чисел (конечномерные векторы). Обозначаются они либо в виде строки, либо в виде вектора-столбца (матрицы-столбца)

х = (х ₁ , х₂ ,…, х _n), х = [x₁ x₂ …x_n ]^T , (1.2)

где [x₁ ,x₂ ,…, x _n ]^T – матрица состояний, «Т» - знак

транспонирования.

Элемент (1.2) называется конечномерным вектором состояния. Элементами состояния могут быть также и бесконечномерные векторы состояния. Элементами пространства состояний могут быть также и функции некоторого числа аргументов (помимо времени).

При рассмотрении движения системы или процесса в пространстве состояний вектор состояния является функцией непрерывного или дискретного времени. Для случая непрерывного времени и конечномерного вектора состояния во все моменты времени означает задание некоторой функции

х = (х ₁(t) , х₂(t) ,…, х _n(t)) = [x₁(t) x₂(t) …x _n(t) ]^T (1.3)

Дискретное время представляет собой последовательность моментов времени

t ₀ , t₁,…, t_к-1 , t_к … (1.4)

Индекс к может при необходимости принимать и отрицательные значения. Вектор состояния в момент времени t_к в общем случае обозначается

х (t_к ) или x[к]. (1.5)

В наиболее типичном случае интервал последовательности (1.4) постоянен, т.е., t_к - t_к-1 = τ = сonst и одинаков для всех компонент вектора состояния. В этом случае при t ₀ =0 величина t _к в (1.5) равна к τ. Возможна работа с разными интервалами повторения для различных групп переменных. В этом случае структура пространства состояний с дискретным временем усложняется. Пространство состояний подразделяется на субпространства. Бывают случаи, когда последовательность (1.4) является случайной.

Помимо дискретности по времени может иметь место и дискретность по уровню (квантование). Это особенно характерно для систем управления с микропроцессорами, имеющими небольшое число разрядов. Всё это определяет большое разнообразие вариантов пространства состояний [1].

Ниже используется, в основном, декартова система координат. Использовании других систем координат будет оговариваться отдельно. Отдельно также будет оговариваться, какое время (дискретное или непрерывное) используется при анализе систем и процессов или их моделей.