6.2. Индуктивность
•Ток i = Im∙sin(ωt + i)
•Из компонентного уравнения напряжение на L
uL Ldtdi Im Lcos( t i ) Im xL sin( t i 90 ) ULm sin( t u)
|
u |
= i+90˚ = u - i = 90˚ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
• |
Ток в индуктивности отстает по фазе от напряжения на 90 ˚ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
• |
Индуктивность оказывает току сопротивление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
XL=ω∙L |
При ω=0 (постоянный ток) XL=0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Сопротивление L пропорционально частоте |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
•ULm = XL∙ Im UL = XL ∙ I - подчиняются закону Ома |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
В комплексной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j U |
|
U |
|
|
j( ) |
U L |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
UL |
|
U Le |
|
|
|
|
U I |
|
|
j90 |
jX L |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
•Закон Ома |
|
|
|
I e |
|
e |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
I |
|
|
j |
|
I |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UL |
|
|
|
|
|
|
Ie |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I |
|
|
;UL jIXL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
jX L |
|
ULm cos t Im sin t 0,5ULm Im sin2 t UL I sin2 t QL sin2 t |
||||||||||||||||
• |
Мощность |
p |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• по синусоидальному закону с двойной частотой –
•среднее значение за период (активная Р) равны нулю –ток в L не
совершает работы. Разработал Никаноров В.Б. 12
•Имеет место реактивная мощность Q, связанная с магнитным полем
6.3.Емкостной элемент
•Ток i = Im∙sin(ωt + i)
•Из компонентного уравнения напряжение на С
u |
|
1 |
idt |
Im |
cos( t |
) I |
x sin( t |
i |
90 ) U |
cm |
sin( t |
u |
) |
C |
|
||||||||||||
c |
|
|
C |
i |
|
m c |
|
|
|
u = i-90˚ |
= u - i = - 90˚ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ток опережает по фазе напряжение на 90˚ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Емкость оказывает току сопротивление |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Xc 1 |
C |
; 0; Xc |
Обратно пропорционально |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частоте |
|
|
|
|
|
|
||||
•Uсm = Xc∙ Im ;Uc = Xc ∙ I - подчиняется закону Ома |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
e |
j u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В комплексной |
U |
C |
|
|
|
|
|
Uce j( u i) |
X |
|
e |
j90 jX |
|
||||||||
|
I |
C |
|
|
|
j i |
C |
C |
|||||||||||||
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ie |
I |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
I |
jXc;Uc jIXc |
|
|
|
|
|
|
||||||||
•Закон Ома |
|
Uc |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
•Мощность
Энергетический режим L и C определяют реактивной мощностью, равной амплитудному значениюРазработалмгновеннойНиканоров В.Б.мощности:QL= UL∙I =13
=UL2/XL=I2∙XL; Qc= -Uc∙I = - Uc2/Xc = - I2∙Xc; Q = QL-QC [ВАр]
7.Символический (комплексный) метод
расчета
•При классическом методе расчета (по |
|||||
мгновенным значениям) |
1 idt |
||||
e u |
u |
L |
u |
iR L di |
|
R |
|
C |
dt |
C |
|
|
|
|
|
||
•Имеем интегро-дифференциальное |
уравнение – сложно для решения |
•При символическом методе для перехода к алгебраическим уравнениям (как на постоянном токе) заменяем мгновенные значения их символами в комплексном виде:
|
|
|
|
e Em(E) |
|
||
|
|
|
|
i Im(I ) |
|
||
Ldi |
dt |
j Im XL ( jIXL ) |
|
|
|
|
|
1C idt j Im Xc( |
jIXc)Разработал Никаноров |
||
8.Комплексное сопротивление и проводимость
• |
|
Для последовательного соединения элементов в комплексном |
|||||||||||||||||||||
|
|
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
R j( XL Xc) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
Уравнение позволяет найти комплекс тока (комплексную |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
амплитуду) через комплекс ЭДС и параметры цепи R,L,C. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
R j(X |
X ) zej |
R jX |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z |
||||||||||||||||
8.1.Комплексное сопротивление |
|
|
|
|
L |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
А)Модуль комплексного сопротивления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
z |
R2 X |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R - активное сопротивление; X=XL- XC –реактивное сопротивление |
|||||||||||||||||||||||
Реактивные сопротивления . XL и XC имеют разный знак!!! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Б) Аргумент комплексного сопротивления |
|
|
|
|
|
X |
|
|
XL |
XC |
|
|
|||||||||||
|
tg R |
R |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Характеризует сдвиг по фазе напряжение и ток |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
XL>Xc ; >0 – индуктивный характер сопротивления (I отстает от U) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
Разработал Никаноров В.Б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
||||||
XL<Xc; <0 – емкостной характер сопротивления (I опережает U)
• 8.2.Комплексная проводимость |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
R jX |
|
|
R |
|
jX |
g jb |
||
|
Y |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Z |
R jX |
R2 X |
2 |
R2 X 2 |
R2 X 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
-Вещественная часть |
g |
|
|
R |
|
|
|
|
|
При X |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
g=1/R |
|
|
|
|||||||||||
|
|
R2 X 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Мнимая часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
При R |
|
0 |
b=1/X |
|
|
|
||||||||
|
R2 |
X 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
-Модуль |
|
|
g2 b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Закон Ома через проводимости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
I UY Ug |
jUb Ia jIp |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- активная составляющая тока – совпадает с напряжением |
||||||||||||||||||||
Ia Ug |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ip Ub |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
- реактивная составляющая тока – ортогональна напряжению |
||||||||||||||||||||||
•При нескольких последовательно Z R j( XL Xc)
соединенных активных и реактивных сопротивлениях. r jx
•r – активное, х – реактивное
сопротивления. Разработал Никаноров В.Б. 17
9.Векторная диаграмма
•При последовательно соединенных R, L, C построение начинают с вектора тока.
•Далее откладывают в масштабе вектор UR, совпадающий по направлению с вектором I.
•К концу вектора UR пристраивают вектор падения напряжения на индуктивности UL(вверх).
•К концу вектора ULв противоположном направлении пристраивают вектор падения напряжения на конденсаторе Uc.
•Из начала координат к концу вектора Uc проводят вектор U напряжения источника.
Разработал Никаноров В.
Ur U cos
UL UC U sin
P = URI=UIcosφ
Q = (UL-UC)I = UIsinφ
|
|
|
|
|
10.Мощность в комплексном виде |
|
||||||||||||||
|
|
• |
|
Активная и реактивная мощности: |
|
|
||||||||||||||
|
|
• P =UrI= UIcos ; Q = (UL-UC)I=UIsin |
|
|
||||||||||||||||
|
|
• |
|
Полная мощность |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
• |
|
S2 = U2I2=(UIcos )2+(UIsin )2= P2+Q2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
На комплексной плоскости получаем |
|
|||||||||||||||
|
|
|
S P |
jQ UI cos jUI sin UIe |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Ue |
j u |
Ie |
|
j i |
|
|
|
|
* |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
I |
|
|
|
||||||||
|
|
Баланс мощности |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В любой момент времени алгебраическая сумма мгновенных |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
мощностей всех источников равна алгебраической сумме |
|
||||||||||||||||
|
|
|
мгновенных мощностей всех приемников энергии. |
|
||||||||||||||||
|
|
Р |
ист |
RI 2 |
Алгебраическая сумма активных мощностей всех |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
источников равна арифметической сумме |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
I 2 |
|
|
|
мощностей всех резисторов. |
|
||||||||
|
Q |
|
|
х |
|
|
х |
I 2 Q |
|
|
|
Q Алгебраическая сумма реактивных |
||||||||
|
|
ист |
|
L |
|
|
|
С |
|
|
L |
|
|
|
C мощностей всех источников равна |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
алгебраической сумме мощностей |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разработал Никаноров В.Б. |
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
всех индуктивных и емкостных |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементов. |
|
|
|
Пример
•Дано: напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника:
•Ù = 8+j6 и ĺ = 2 - j
•Найти: P, Q, zвх и схему замещения.
•Решение:
* = (8+j6)(2+j)=10+j20 P=10Вт, Q=20 ВАр
2. S = √P2+Q2 = √102+202 = 22.4 ВА 3.Zвх = Ù/ĺ = (8+j6)/(2-j) = 2+j4
Rвх = 2 Ом Xвх = XL = 4 Ом
4. Схема замещения пассивного двухполюсника – последовательно соединенные резистор и индуктивность.
Разработал Никаноров В.Б. |
20 |
11.Треугольники сопротивлений и
мощностей
Соотношения между активными, |
S=Z∙I2 |
||
реактивными и полными |
|
|
|
сопротивления и мощностями |
|
|
|
могут интерпретированы на |
|
jQ=jx∙I2 |
|
комплексной плоскости |
|
||
треугольниками сопротивлений и |
|
||
мощностей. |
z r2 x2 |
2 |
|
Из треугольника |
arctg(x/r) |
P=r∙I |
|
|
|||
сопротивлений |
|
||
|
cos r |
z |
|
|
|
|
|
Из треугольника мощностей |
|
|
|
S2= P2+Q2
cos = P/S – коэффициент мощности
Разработал Никаноров В.Б. |
21 |
12.Законы Кирхгофа в комплексной
форме
•1 закон Кирхгофа
•Сумма комплексов токов,
направленных к узлу равна Iпод Iотт
сумме комплексов токов направленных от узла.
•2 закон Кирхгофа
•Для всякого замкнутого
контура алгебраическая сумма комплексов ЭДС равна алгебраической сумме комплексов падений напряжения
E I Z
Разработал Никаноров В.Б. |
22 |
|
13.Резонанс в ЭЦ синусоидального тока |
|||
• |
Сущность резонанса |
|
||
• |
Резонансом |
называют |
|
|
|
режим работы |
участка |
|
|
|
ЭЦ, содержащей катушки |
|
||
|
индуктивности |
|
и |
|
|
конденсаторы, |
|
при |
|
|
котором угол сдвига фаз |
|
||
|
φ напряжения |
и тока |
|
|
|
участка ЭЦ равен нулю |
|
||
|
(cos = 1). |
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
Резонанс определяется тем, что индуктивное и |
|||
|
емкостное сопротивления зависят от частоты и |
|||
|
имеют разный знак. |
|
||
|
• |
|
|
реактивное |
|
При определенном сочетании ω, L и C |
|||
|
сопротивление |
Х=XL-XC=0 и входное сопротивление |
||
|
двухполюсника чисто активное Zвх = Rвх. |
|
||
|
• |
|
|
|
|
Различают: |
|
|
|
|
Резонанс напряженийРазработал Никаноров В.Б. |
23 |
||
|
Резонанс токов. |
|
|
|